Тве́рдження Едсгара Дейкстри є одним із доведень теореми Піфагора.
Якщо в трикутнику кути лежать навпроти сторін довжиною a, b, c, відповідно, тоді
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2071fce64da62191e21731b41736310ab54bfcc4)
де — signum-функція.
|
Розглянемо довільний трикутник ABC.
Дейкстра побудував дві додаткові лінії CH і CK так що
і
, що робить трикутники ABC, ACH і BCK подібними і кути AHC і BKC рівними.
Ми маємо випадок
, в якому трикутники CKB і AHC, непересічні області і не охоплюють весь
; позначаючи площі
як "XYZ" отримаємо наступний випадок
![{\displaystyle CKB+AHC<ACB.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d796f0b0809c27a396485b864364400008307520)
У випадку
, H і K збігаються і ми маємо
![{\displaystyle CKB+AHC=ACB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a67a215ee50899ed733b869e83720db80725108)
і у випадку
, де два трикутники перетинаються, маємо
![{\displaystyle CKB+AHC>ACB.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab851929cc7ca7d84910dfdaf344dbba5beeffe8)
Підсумувавши, отримаємо
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(CKB+AHC-ACB).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d77834d0457a2d0f796b48e47bfbd27a9625db19)
Три площі цих подібних трикутників мають співвідношення як квадрати відповідних сторін, зокрема
![{\displaystyle {\frac {CKB}{a^{2}}}={\frac {AHC}{b^{2}}}={\frac {ACB}{c^{2}}}=k>0,\;k>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743585f8d835bc33fd60f3980545730893ecbcae)
Звідси,
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b4577e88c64cf1501ade6d4beb991e5bb6bef5)
Отже, ми довели теорему
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b4577e88c64cf1501ade6d4beb991e5bb6bef5)
Розглянемо
та
.
З подібності трикутників маємо відношення
![{\displaystyle {\frac {BC}{DA}}={\frac {BO}{DO}}={\frac {CO}{AO}}=k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8dac4afc41a19780a96e7a8f03158530f449ae)
Нехай
, тоді
.
Нехай
. Аналогічно
.
За теоремою Дейкстра
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(AO^{2}+OD^{2}-AD^{2})=\operatorname {sgn} \left({\frac {d_{1}^{2}}{(k+1)^{2}}}+{\frac {d_{2}^{2}}{(k+1)^{2}}}-d^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbe7bb3929e7f138cfb1fb988b837d2822a2d14)
Відомо, що
.
Виразимо d:
.
Підставимо:
![{\displaystyle \operatorname {sgn} \left({\frac {2bd+a^{2}+c^{2}}{(k+1)^{2}}}-{\frac {(b+d)^{2}}{(k+1)^{2}}}\right)=\operatorname {sgn} \left({\frac {2bd+a^{2}+c^{2}-b^{2}-2bd-d^{2}}{(k+1)^{2}}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf44345fc48590bfcfcdee18261d2a279828fc68)
![{\displaystyle =|k+1\neq 0|=\operatorname {sgn}(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2})=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd8fb3b9a8ddc874c690a199c8b21f227bb68d7)
Оскільки
одержимо наступну рівність
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta -\alpha _{1}-\beta _{1})=\operatorname {sgn}(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87893bbc1f7fb57c6fe5ce257b408a550467ac45)
Що й треба було довести.
Якщо у твердженні Дейкстра покласти
, то утвориться прямокутний трикутник і згідно теореми
.
Остання рівність всім відома як теорема Піфагора.
Зокрема, в трапеції із перпендикулярними діагоналями для бічних сторін виконується рівність
![{\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36fbd058b3d0cbb11399cd7a438bc1e09c3cf59b)