Тензор кривини

Тензор Рімана $R_{\,ijk}^{s}$ (тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю Диференціальна геометрія)

$(1)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]a_{i}=-R_{\,ijk}^{s}a_{s}$

Деякі тотожності

$(2)\qquad R_{\,ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ik}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ij}^{s}+\Gamma _{ij}^{p}\Gamma _{pk}^{s}-\Gamma _{ik}^{p}\Gamma _{pj}^{s}$

Замість коваріантних компонент $a_{i}$ можна підставити базисні вектори $\mathbf {r} _{i}$:

$(3)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]\mathbf {r} _{i}=-R_{\,ijk}^{s}\mathbf {r} _{s}$

І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів $\nabla _{j}\mathbf {r} _{i}$ дорівнює векторам повної кривини $\mathbf {b} _{ij}$ (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії), маємо:

$(3)\qquad \nabla _{j}\mathbf {b} _{ik}-\nabla _{k}\mathbf {b} _{ij}=-R_{\,ijk}^{s}\mathbf {r} _{s}$

Домножимо формулу (3) скалярно на $\mathbf {r} _{p}$, i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду: $(\mathbf {r} _{s}\cdot \mathbf {b} _{ij})=0$. В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:

$-R_{pijk}=-R_{\,ijk}^{s}(\mathbf {r} _{p}\cdot \mathbf {r} _{s})=-(\mathbf {r} _{p}\cdot (\nabla _{j}\mathbf {b} _{ik}))+(\mathbf {r} _{p}\cdot (\nabla _{k}\mathbf {b} _{ij}))=$

$=-(\nabla _{j}(\mathbf {r} _{p}\cdot \mathbf {b} _{ik})+((\nabla _{j}\mathbf {r} _{p})\cdot \mathbf {b} _{ik}))+(\nabla _{k}(\mathbf {r} _{p}\cdot \mathbf {b} _{ij})-((\nabla _{k}\mathbf {r} _{p})\cdot \mathbf {b} _{ij}))=$

$=-(0-(\mathbf {b} _{jp}\cdot \mathbf {b} _{ik}))+(0-(\mathbf {b} _{kp}\cdot \mathbf {b} _{ij}))=(\mathbf {b} _{pj}\cdot \mathbf {b} _{ik})-(\mathbf {b} _{pk}\cdot \mathbf {b} _{ij})$

або після зміни знаку і перейменування індексів:

$(4)\qquad R_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})-(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})$

Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси $k$ і $l$ переставлені), тензор Рімана антисиметричний за першою парою індексів $ij$ і за другою парою індексів $kl$ (при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):

$(5)\qquad R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}$

Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів $ij$ з другою парою індексів $kl$ (при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини $\mathbf {b} _{ij}$ симетричні за індексами, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):

$(6)\qquad R_{ijkl}=R_{klij}$

Згортка тензора Рімана за першим і третім індексами (або, що еквівалентно, за другим і четвертим індексами) дає симетричний тензор другого рангу $R_{ik}$, який називається тензором Річчі:

$(7)\qquad R_{ik}=g^{jl}R_{ijkl}$

Тензор Річчі симетричний:

$(8)\qquad R_{ik}=R_{ki}$

Тензор Річчі можна також згорнути за індексами, одержавши скалярну кривину:

$(9)\qquad R=g^{ik}R_{ik}$

Враховуючи (4), маємо:

$(10)\qquad R=(\mathbf {b} _{i}^{i})^{2}-(\mathbf {b} _{i}^{j}\cdot \mathbf {b} _{j}^{i})$

Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс $i$ у формулі (1):

$(11)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]a^{i}=-R_{\;jk}^{si}a_{s}=R_{\;jk}^{is}a_{s}=R_{\,sjk}^{i}a^{s}$

Оскільки комутатор коваріантних похідних $[\nabla _{i}\nabla _{j}]$ діє на добуток тензорів $TU$ за правилом диференціального оператора:

$[\nabla _{i}\nabla _{j}](TU)=([\nabla _{i}\nabla _{j}]T)U+T([\nabla _{i}\nabla _{j}]U)$

то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.

Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:

$(12)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]T_{l_{1}l_{2}\cdots }^{i_{1}i_{2}\cdots }=R_{\;sjk}^{i_{1}}T_{l_{1}l_{2}\cdots }^{si_{2}\cdots }+R_{\;sjk}^{i_{2}}T_{l_{1}l_{2}\cdots }^{i_{1}s\cdots }+\cdots -R_{\,l_{1}jk}^{s}T_{sl_{2}\cdots }^{i_{1}i_{2}\cdots }-R_{\,l_{2}jk}^{s}T_{l_{1}s\cdots }^{i_{1}i_{2}\cdots }$

Тензор Рімана задовольняє дві тотожності Біанкі:

Алгебраїчна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів $ijk$):

$(13)\qquad R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0$

Диференціальна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів $pjk$):

$(14)\qquad \nabla _{p}R_{\,ijk}^{s}+\nabla _{j}R_{\,ikp}^{s}+\nabla _{k}R_{\,ipj}^{s}=0$

Алгебраїчна тотожність Біанкі

Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:

$(1)\qquad R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0$

яка називається алгебраїчною тотожністю Біанкі.

Варіанти запису алгебраїчної тотожності Біанкі

Оскільки тензор Рімана має дві антисиметричні пари індексів (тензор змінює знак на протилежний при перестановці двох індексів всередині кожної з пар), причому тензор симетричний при перестановці місцями самих пар, то ми можемо, наприклад поміняти місцями перші два індекса. Одержуємо (змінивши знак):

$(1a)\qquad R_{isjk}+R_{jski}+R_{ksij}=0$

Якщо тепер поміняти місцями пари індексів, то матимемо:

$(1b)\qquad R_{jkis}+R_{kijs}+R_{ijks}=0$

Всі ці тотожності еквівалентні, і словами їх можна описати так: фіксуємо один з індексів тензора Рімана, а з трьох решти індексів утворююємо три циклічні перестановки. Сума компонент тензора Рімана з одержаними трьома наборами індексів дорівнює нулю.

Інші варіанти одержуються при підніманні одного чи декількох індексів, наприклад:

$(1c)\qquad R_{\;ijk}^{s}+R_{\;jki}^{s}+R_{\;kij}^{s}=0$

Підготовка доведення

Нехай ми маємо величину з трьома індексами $s_{ij,k}$ яка симетрична по двох індексах (наприклад по двох перших індексах):

$(2)\qquad s_{ij,k}=s_{ji,k}$

З неї ми можемо скласти іншу величину, яка буде антисиметрична по останніх двох індексах, за наступною формулою:

$(3)\qquad a_{i,jk}=s_{ij,k}-s_{ik,j}$

Тоді легко перевірити, що сума компонент $a_{i,jk}$ при циклічних перестановках індексів дорівнює нулю:

$(4)\qquad a_{i,jk}+a_{j,ki}+a_{k,ij}=s_{ij,k}-s_{ik,j}+s_{jk,i}-s_{ji,k}+s_{ki,j}-s_{kj,i}=0$

Цей хід викладок не зміниться, якщо величина $s_{ij,k\dots }$ матиме більшу кількість індексів, які проте в перестановках не беруть участі.

Доведення виходячи із представлення через символи Крістофеля

Запишемо тензор Рімана через символи Крістофеля:

$(5)\qquad R_{\;ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ki}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ki}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}$

Якщо ми позначимо:

$(6)\qquad s_{ij,k}=-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}$

то

$(7)\qquad a_{i,jk}=s_{ij,k}-s_{ik,j}=R_{\;ijk}^{s}$

і рівність (4) збігається з алгебраїчною тотожністю Біанкі (1).

Доведення виходячи із представлення через вектори повної кривини

Запишемо тензор Рімана:

$(8)\qquad R_{sijk}=(\mathbf {b} _{sj}\cdot \mathbf {b} _{ik})-(\mathbf {b} _{sk}\cdot \mathbf {b} _{ij})$

В цьому випадку

$(9)\qquad s_{ij,k}=-(\mathbf {b} _{sk}\cdot \mathbf {b} _{ij})$

а далі все аналогічно попереднім викладкам.

Доведення через коваріантні похідні

Нехай и маємо довільне скалярне поле $\phi =\phi (u^{1},\dots u^{n})$. Введемо наступні позначення для коваріантних похідних цього поля першого та другого порядку:

$(10)\qquad \phi _{i}=\nabla _{i}\phi =\partial _{i}\phi$

$(11)\qquad \phi _{ij}=\nabla _{i}\nabla _{j}\phi =\partial _{i}\partial _{j}\phi -\Gamma _{ij}^{s}\phi _{s}$

Зазначимо, що друга похідна є симетричним тензором внаслідок перестановочності частинних похідних та симетрії символів Крістофеля.

Тоді згортка тензора Рімана з градієнтом $\phi$ дорівнює:

$(12)\qquad R_{\;ijk}^{s}\phi _{s}=[\nabla _{k}\nabla _{j}]\phi _{i}=\nabla _{k}\phi _{ij}-\nabla _{j}\phi _{ik}$

В цьому випадку:

$(13)\qquad s_{ij,k}=\nabla _{k}\phi _{ij}$

і ми одержуємо тотожність:

$(14)\qquad \left(R_{\;ijk}^{s}+R_{\;jki}^{s}+R_{\;kij}^{s}\right)\phi _{s}=0$

Оскільки функція $\phi =\phi (u^{1},\dots u^{n})$ довільна, ми можемо взяти її рівній одній з координат ($\alpha$ — фіксований індекс):

$(15)\qquad \phi =u^{\alpha },\qquad \phi _{s}=\delta _{s}^{\alpha }$

Підставляючи (15) в (14) одержуємо (з точністю до позначень індексів) алгебраїчну тотожність Біанкі (1).

Антисиметризація тензора Рімана

Використовуючи тензор тензор метричної матрьошки, можна для довільного тензора $T_{i_{1}\cdots i_{m}}$ $m$-рангу скласти наступний антисиметричний по всіх індексах тензор:

$(16)\qquad A_{i_{1}\dots i_{m}}={1 \over m!}g_{i_{1}\dots i_{m}}^{j_{1}\dots j_{m}}T_{j_{1}\dots j_{m}}$

Очевидно, що антисиметричний тензор залишається незмінним після проведення процедури антисиметризації.

Застосуємо антисиметризацію до тензора Рімана:

$(17)\qquad A_{sijk}={1 \over 4!}g_{sijk}^{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}R_{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}={1 \over 24}{\begin{vmatrix}\delta _{s}^{s_{1}}\delta _{i}^{s_{1}}\delta _{j}^{s_{1}}\delta _{k}^{s_{1}}\\\delta _{s}^{i_{1}}\delta _{i}^{i_{1}}\delta _{j}^{i_{1}}\delta _{k}^{i_{1}}\\\delta _{s}^{j_{1}}\delta _{i}^{j_{1}}\delta _{j}^{j_{1}}\delta _{k}^{j_{1}}\\\delta _{s}^{k_{1}}\delta _{i}^{k_{1}}\delta _{j}^{k_{1}}\delta _{k}^{k_{1}}\end{vmatrix}}R_{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}$

При розкриванні визначника ми одержимо 24 доданка по перестановках індексів $sijk$, причому парні перестановки будуть зі знаком «плюс», а непарні — зі знаком «мінус»:

$(18)\qquad A_{sijk}={1 \over 24}\left((R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij})-(R_{sjik}+R_{sikj}+R_{skji})+\dots \right)$

Усього в формулі (18) буде вісім груп доданків по три доданки в кожній. Враховуючи симетрії тензора Рімана легко бачити, що всі ці вісім груп однакові (із врахуванням знаків). Тому одержуємо:

$(19)\qquad A_{sijk}={1 \over 3}(R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij})$

Тепер алгебраїчну тотожність Біанкі можна словами описати так: антисиметризація тензора Рімана дорівнює нулю.

Кількість лінійно незалежних компонент внутрішньої кривини

Якщо $n$ — розмірність многовида, то кількість комбінацій в антисиметричній парі індексів дорівнює:

$(20)\qquad \alpha =C_{n}^{2}={n(n-1) \over 2}$

Оскільки тензор Рімана симетричний щодо перестановки пар індексів, то його компоненти записуються (з точністю до знаку) через таку кількість різних чисел:

$(21)\qquad \beta ={\alpha (\alpha +1) \over 2}={n(n-1) \over 4}\left({n(n-1) \over 2}+1\right)$

Але ці числа пов'язані лінійними залежностями, які слідують з алгебраїчної тотожності Біанкі. Кількість цих рівнянь, як легко бачити з формули (19), дорівнює кількості істотно різних компонент антисиметричного тензора четвертого рангу $A_{ijkl}$:

$(22)\qquad \gamma =C_{n}^{4}={n(n-1)(n-2)(n-3) \over 24}$

(зауважимо, що формула (22) дає правильний результат, тобто нуль, тоді коли $n<4$)

Отже кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана дорівнює різниці:

$(23)\qquad N=\beta -\gamma ={n(n-1) \over 24}(3n(n-1)+6-(n-2)(n-3))={n^{2}(n^{2}-1) \over 12}$

Звичайно, формула (23) дає тільки максимально можливу кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана для даної розмірності многовида. А для конкретних многовидів ця кількість може бути меншою. Наприклад для плоского простору ця кількість дорівнює нулю, а для гіперповерхні в системі координат головних напрямків, маємо для індексів $i\neq j$ формулу:

$(24)\qquad R_{ijij}=k^{(i)}k^{(j)}$

а отже кількість лінійно незалежних компонент не перевищує кількості комбінацій з $n$ по 2, тобто:

$(25)\qquad N_{hypersurface}=C_{n}^{2}={n(n-1)/2}$

Зв'язок з іншими властивостями внутрішньої кривини

Внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі, внутрішня кривина многовида повністю визначається за значеннями наступної квадратичної форми від бівекторів $\sigma ^{ij}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}$:

$(26)\qquad \Phi ({\boldsymbol {\sigma }})=R_{ijkl}\sigma ^{ij}\sigma ^{kl}$

Також з алгебраїчною тотожністю Біанкі пов'язана можливість альтернативного погляду на внутрішню кривину через Симетричний тензор внутрішньої кривини.

Диференціальна тотожність Біанкі

Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:

$(1)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla _{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=0$

яка називається диференціальною тотожністю Біанкі.

Доведення з використанням спеціальної системи координат

Достатнньо вибрати на многовиді якусь одну довільну точку $P$ і довести рівність (1) у цій точці. Оскільки точка $P$ довільна, то звідси слідуватиме справедливість тотожності (1) на всьому многовиді.

В точці $P$ ми можемо вибрати таку спеціальну систему координат, що всі символи Крістофеля (але не їхні похідні) перетворюються в нуль в точці $P$ (див. статтю Майже декартові координати в точці многовида). Тоді для коваріантних похідних в точці $P$ маємо:

$(2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}R_{\;rjk}^{s}$

Оскільки

$(3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p}$

то в точці $P$ маємо:

$(4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{i}\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}$

Циклічно переставляючи в (4) індекси $ijk$ одержимо ще дві рівності:

$(5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\partial _{j}\partial _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\partial _{j}\partial _{i}\Gamma _{kr}^{s}$

$(6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\partial _{k}\partial _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\partial _{k}\partial _{j}\Gamma _{ir}^{s}$

Легко бачити, що при додаванні рівностей (4), (5) і (6) в лівій частині рівняння буде вираз (1), а в правій, врахувавши комутативність частинних похідних, усі доданки взаємно знищаться і ми одержимо нуль.

Існування декартової системи координат

Якщо існує декартова система координат, то $R_{ijkl}=0$

Якщо на многовиді існує декартова система координат (в якій метричний тензор дорівнює одиничній матриці $g_{ij}=\delta _{ij}$), то в цій системі координат всі похідні метричного тензора $\partial _{k}g_{ij}=0$, а отже і всі символи Крістофеля тотожно дорівнюють нулю:

$\Gamma _{ij}^{k}={1 \over 2}g^{ks}(\partial _{i}g_{js}+\partial _{j}g_{is}-\partial _{s}g_{ij})=0$

Отже і всі компоненти тензора Рімана в декартовій системі координат дорівнюють нулю:

$R_{\;ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ik}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ij}^{k}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ik}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ij}^{p}=0$

Але оскільки тензор Рімана при переході в іншу систему координат перетворюється по тензорним правилам:

${\tilde {R}}_{\;ijk}^{s}=R_{\;lmn}^{p}{\partial {\tilde {u}}^{s} \over \partial u^{p}}{\partial u^{l} \over \partial {\tilde {u}}^{i}}{\partial u^{m} \over \partial {\tilde {u}}^{j}}{\partial u^{n} \over \partial {\tilde {u}}^{k}}$

то він дорівнює нулю в будь-якій іншій системі координат на цьому многовиді.

Якщо $R_{ijkl}=0$, то можна побудувати декартову систему координат

Нехай тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида. Візьмемо довільну точку $P$ в межах цієї області - ця точка буде початком нашої майбутньої декартової системи координат. В точці виберемо якийсь ортонормований базис - вектори цього базису будуть задавати додатні напрямки координатних осей майбутньої системи координат.

Розглянемо один із векторів базису, який поки що для простоти позначимо буквою $v$ (взагалі-то кількість базисних векторів $n$, і треба було б позначити індексом, який із базисних векторів ми розглядаємо; але поки ми зосередимося на побудові однієї координати).

Користуючись паралельним перенесенням починаючи з точки $P$, в кожній точці області многовида побудуємо вектор, паралельний вектору $v$. Результат перенесення не залежить від шляху переносу (оскільки тензор Рімана дорівнює нулю), а залежить тільки від кінцевої точки. Таким чином ми одержали в нашій області векторне поле:

$(1)\qquad v_{i}=v_{i}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})$

яке до того ж є постійним стосовно коваріантного диференціювання, тобто справедливі рівності:

$(2)\qquad \nabla _{j}v_{i}=0$

З останнього рівняння, враховуючи означення коваріантної похідної і симетрію символів Крістофеля, знаходимо:

$(3)\qquad 0=\nabla _{j}v_{i}-\nabla _{i}v_{j}=(\partial _{j}v_{i}-\Gamma _{ji}^{k}v_{k})-(\partial _{i}v_{j}-\Gamma _{ij}^{k}v_{k})=\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}v_{j}=0$

Тепер, оскільки

$(4)\qquad \partial _{j}v_{i}=\partial _{i}v_{j}$

То вектор є градієнтом деякої скалярної функції $\phi =\phi (u^{1},u^{2},\dots u^{n})$:

$(5)\qquad v_{i}=\partial _{i}\phi$

Функцію $\phi$ в якійсь точці $Q$ області многовида можна обчислити через інтеграл по кривій, що сполучає початок координат $P$ і точку $Q$:

$(7)\qquad \phi {\big |}_{Q}=\int _{P}^{Q}v_{i}du^{i}$

причому результат інтегрування не залежить від кривої (внаслідок формули Стокса і рівності (5)).

Функція $\phi =\phi (u^{1},u^{2},\dots u^{n})$ і буде однією з координат. Тепер повернемося до інших векторів базису, цього разу уже пронумеруємо ці вектори індексом, взятим у дужки. Так само для кожного такого вектора побудуємо в нашій області відповідне постійне векторне поле, яке є градієнтом відповідної координати:

$(8)\qquad v_{i}^{(k)}=\partial _{i}\phi ^{(k)}$

Оскільки паралельне перенесення групи векторів зберігає скалярні добутки між ними, а в початку координат ці скалярні добутки дорівнюють одиничній матриці, то в усій області маємо:

$(9)\qquad g^{ij}{\partial \phi ^{(k)} \over \partial u^{i}}{\partial \phi ^{(l)} \over \partial u^{j}}=\delta ^{kl}$

тобто координати $\phi ^{(k)}$ є декартовими.

Погляд із охоплюючого евклідового простору

Розглянемо рівність:

$(10)\qquad R_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})-(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})=0$

в якійсь точці $P$ многовиду, і дві геодезичні лінії, що проходять через цю точку, але в різних напрямках. Кривини цих геодезичних дорівнюють:

$\mathbf {k} =\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}$

${\tilde {\mathbf {k} }}=\mathbf {b} _{ij}{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}$

Тепер домножимо (10) на добуток $\tau ^{i}{\tilde {\tau }}^{j}\tau ^{k}{\tilde {\tau }}^{l}$, одержимо:

$(\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {k} }})=(\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}{\tilde {\tau }}^{j})^{2}\geq 0$

Висновок - кривини всіх геодезичних напрямлені приблизно в один бік, многовид не має сідлових точок, в яких би різні геодезичні викривлялися в протилежні боки.

Див. також

• Розклад Річчі
• Перетворення кривини
• Тензор кручення

Література

• Володимир Кіосак, Олександр Пришляк. Ріманова геометрія. Київ, мехмат КНУ, 2017. 49 с.
• John M. Lee. (2018). Introduction to Riemannian Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-3-319-91754-2.