Тензор Рімана
(тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю Диференціальна геометрія)
![{\displaystyle (1)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]a_{i}=-R_{\,ijk}^{s}a_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e9fc96d1ac73f5b5e65237d21edfd406181763)
![{\displaystyle (2)\qquad R_{\,ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ik}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ij}^{s}+\Gamma _{ij}^{p}\Gamma _{pk}^{s}-\Gamma _{ik}^{p}\Gamma _{pj}^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4291303e276f6af2da1b4213503503313fc038a4)
Замість коваріантних компонент
можна підставити базисні вектори
:
![{\displaystyle (3)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]\mathbf {r} _{i}=-R_{\,ijk}^{s}\mathbf {r} _{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fff75356c7a72d41606e38ebd90a7386610db04)
І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів
дорівнює векторам повної кривини
(дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії), маємо:
![{\displaystyle (3)\qquad \nabla _{j}\mathbf {b} _{ik}-\nabla _{k}\mathbf {b} _{ij}=-R_{\,ijk}^{s}\mathbf {r} _{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabfc462ec402d95cfcc74bd196ff4ff3fd79341)
Домножимо формулу (3) скалярно на
, i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду:
. В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:
![{\displaystyle -R_{pijk}=-R_{\,ijk}^{s}(\mathbf {r} _{p}\cdot \mathbf {r} _{s})=-(\mathbf {r} _{p}\cdot (\nabla _{j}\mathbf {b} _{ik}))+(\mathbf {r} _{p}\cdot (\nabla _{k}\mathbf {b} _{ij}))=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708e49033c03fdc982e776b45e2bdf622799eed9)
![{\displaystyle =-(\nabla _{j}(\mathbf {r} _{p}\cdot \mathbf {b} _{ik})+((\nabla _{j}\mathbf {r} _{p})\cdot \mathbf {b} _{ik}))+(\nabla _{k}(\mathbf {r} _{p}\cdot \mathbf {b} _{ij})-((\nabla _{k}\mathbf {r} _{p})\cdot \mathbf {b} _{ij}))=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3245285a29f1012ef2130642f757b21236573572)
![{\displaystyle =-(0-(\mathbf {b} _{jp}\cdot \mathbf {b} _{ik}))+(0-(\mathbf {b} _{kp}\cdot \mathbf {b} _{ij}))=(\mathbf {b} _{pj}\cdot \mathbf {b} _{ik})-(\mathbf {b} _{pk}\cdot \mathbf {b} _{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9284b2ace0b48cc598bb592913b94ff0307b992)
або після зміни знаку і перейменування індексів:
![{\displaystyle (4)\qquad R_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})-(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2d1f58d0ed88bd16fd0e09b1def10560432808)
Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси
і
переставлені), тензор Рімана антисиметричний за першою парою індексів
і за другою парою індексів
(при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):
![{\displaystyle (5)\qquad R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e31e89e93164711cba84a27bf2edf061484eb4)
Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів
з другою парою індексів
(при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини
симетричні за індексами, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):
![{\displaystyle (6)\qquad R_{ijkl}=R_{klij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f66a18d7bd1117538a04bb58c215698faea1cea)
Згортка тензора Рімана за першим і третім індексами (або, що еквівалентно, за другим і четвертим індексами) дає симетричний тензор другого рангу
, який називається тензором Річчі:
![{\displaystyle (7)\qquad R_{ik}=g^{jl}R_{ijkl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5596037cfa33ad3d92f4842f2abe98f0d526fb81)
Тензор Річчі симетричний:
![{\displaystyle (8)\qquad R_{ik}=R_{ki}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ddc62bc4ac5672277584dd9e4e4a272fa94a59)
Тензор Річчі можна також згорнути за індексами, одержавши скалярну кривину:
![{\displaystyle (9)\qquad R=g^{ik}R_{ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8bccbcb9ee9f3bc70b8c7bfca02014174232b3c)
Враховуючи (4), маємо:
![{\displaystyle (10)\qquad R=(\mathbf {b} _{i}^{i})^{2}-(\mathbf {b} _{i}^{j}\cdot \mathbf {b} _{j}^{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f43056114d26ba59070da25c17db7b16fb8ee9)
Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс
у формулі (1):
![{\displaystyle (11)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]a^{i}=-R_{\;jk}^{si}a_{s}=R_{\;jk}^{is}a_{s}=R_{\,sjk}^{i}a^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2920538ab7971a61be11934feecfc995f6b90829)
Оскільки комутатор коваріантних похідних
діє на добуток тензорів
за правилом диференціального оператора:
![{\displaystyle [\nabla _{i}\nabla _{j}](TU)=([\nabla _{i}\nabla _{j}]T)U+T([\nabla _{i}\nabla _{j}]U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a19fb059f80b2b03c08dcd920d358b2566f170)
то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.
Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:
![{\displaystyle (12)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]T_{l_{1}l_{2}\cdots }^{i_{1}i_{2}\cdots }=R_{\;sjk}^{i_{1}}T_{l_{1}l_{2}\cdots }^{si_{2}\cdots }+R_{\;sjk}^{i_{2}}T_{l_{1}l_{2}\cdots }^{i_{1}s\cdots }+\cdots -R_{\,l_{1}jk}^{s}T_{sl_{2}\cdots }^{i_{1}i_{2}\cdots }-R_{\,l_{2}jk}^{s}T_{l_{1}s\cdots }^{i_{1}i_{2}\cdots }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51f6ed49d9643ea0ca590494b5a004a99a56ccb)
Тензор Рімана задовольняє дві тотожності Біанкі:
Алгебраїчна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів
):
![{\displaystyle (13)\qquad R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35dc786be5d67d23b0e7dd0b30c577c250d5f43c)
Диференціальна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів
):
![{\displaystyle (14)\qquad \nabla _{p}R_{\,ijk}^{s}+\nabla _{j}R_{\,ikp}^{s}+\nabla _{k}R_{\,ipj}^{s}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79fdb698532b68441f0dcf65ec7326fa7c04872)
Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:
![{\displaystyle (1)\qquad R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299cd9420ab35fe867d86e3f1600f415805668e9)
яка називається алгебраїчною тотожністю Біанкі.
Варіанти запису алгебраїчної тотожності Біанкі
[ред. | ред. код]
Оскільки тензор Рімана має дві антисиметричні пари індексів (тензор змінює знак на протилежний при перестановці двох індексів всередині кожної з пар), причому тензор симетричний при перестановці місцями самих пар, то ми можемо, наприклад поміняти місцями перші два індекса. Одержуємо (змінивши знак):
![{\displaystyle (1a)\qquad R_{isjk}+R_{jski}+R_{ksij}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d662b8788fdcd02dc69453261b002bc66fbd7d)
Якщо тепер поміняти місцями пари індексів, то матимемо:
![{\displaystyle (1b)\qquad R_{jkis}+R_{kijs}+R_{ijks}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8865c96b51b5d390b0c026da3351fca14b4376d)
Всі ці тотожності еквівалентні, і словами їх можна описати так: фіксуємо один з індексів тензора Рімана, а з трьох решти індексів утворююємо три циклічні перестановки. Сума компонент тензора Рімана з одержаними трьома наборами індексів дорівнює нулю.
Інші варіанти одержуються при підніманні одного чи декількох індексів, наприклад:
![{\displaystyle (1c)\qquad R_{\;ijk}^{s}+R_{\;jki}^{s}+R_{\;kij}^{s}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f6322b23cef6d33105727109006acbb02c7622)
Нехай ми маємо величину з трьома індексами
яка симетрична по двох індексах (наприклад по двох перших індексах):
![{\displaystyle (2)\qquad s_{ij,k}=s_{ji,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b853a2a5ff2ebb7528c46c08a6c3ffa39251fa)
З неї ми можемо скласти іншу величину, яка буде антисиметрична по останніх двох індексах, за наступною формулою:
![{\displaystyle (3)\qquad a_{i,jk}=s_{ij,k}-s_{ik,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03f56a30896f36c90a869455c58c946cb1c4984)
Тоді легко перевірити, що сума компонент
при циклічних перестановках індексів дорівнює нулю:
![{\displaystyle (4)\qquad a_{i,jk}+a_{j,ki}+a_{k,ij}=s_{ij,k}-s_{ik,j}+s_{jk,i}-s_{ji,k}+s_{ki,j}-s_{kj,i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481e25e22638938638c1b09bb4834d784da6483b)
Цей хід викладок не зміниться, якщо величина
матиме більшу кількість індексів, які проте в перестановках не беруть участі.
Доведення виходячи із представлення через символи Крістофеля
[ред. | ред. код]
Запишемо тензор Рімана через символи Крістофеля:
![{\displaystyle (5)\qquad R_{\;ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ki}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ki}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34443b95334604b0fe86c5876511050d9981edbd)
Якщо ми позначимо:
![{\displaystyle (6)\qquad s_{ij,k}=-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78dd716d8747027ca4ac7446b800989ac91ba48)
то
![{\displaystyle (7)\qquad a_{i,jk}=s_{ij,k}-s_{ik,j}=R_{\;ijk}^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e702b7c59814df85f5e54373e1e9f870f23cca7e)
і рівність (4) збігається з алгебраїчною тотожністю Біанкі (1).
Доведення виходячи із представлення через вектори повної кривини
[ред. | ред. код]
Запишемо тензор Рімана:
![{\displaystyle (8)\qquad R_{sijk}=(\mathbf {b} _{sj}\cdot \mathbf {b} _{ik})-(\mathbf {b} _{sk}\cdot \mathbf {b} _{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a13ce7658369f4ef9cecc89ae7b187b0f4837b5)
В цьому випадку
![{\displaystyle (9)\qquad s_{ij,k}=-(\mathbf {b} _{sk}\cdot \mathbf {b} _{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff0f6020bd73c3f7d37ac454b0aba9abfe7d56d)
а далі все аналогічно попереднім викладкам.
Нехай и маємо довільне скалярне поле
. Введемо наступні позначення для коваріантних похідних цього поля першого та другого порядку:
![{\displaystyle (10)\qquad \phi _{i}=\nabla _{i}\phi =\partial _{i}\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c3a99edb1423e7981456c74d2fe08650f9985d)
![{\displaystyle (11)\qquad \phi _{ij}=\nabla _{i}\nabla _{j}\phi =\partial _{i}\partial _{j}\phi -\Gamma _{ij}^{s}\phi _{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7052dad3c044b7203f9e984a1fffe6e2fb53a46e)
Зазначимо, що друга похідна є симетричним тензором внаслідок перестановочності частинних похідних та симетрії символів Крістофеля.
Тоді згортка тензора Рімана з градієнтом
дорівнює:
![{\displaystyle (12)\qquad R_{\;ijk}^{s}\phi _{s}=[\nabla _{k}\nabla _{j}]\phi _{i}=\nabla _{k}\phi _{ij}-\nabla _{j}\phi _{ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3164dcb3a4fe2679f87feec24debbd1a52e320)
В цьому випадку:
![{\displaystyle (13)\qquad s_{ij,k}=\nabla _{k}\phi _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d18803cae7f533065be4ad4572f826a33567c4)
і ми одержуємо тотожність:
![{\displaystyle (14)\qquad \left(R_{\;ijk}^{s}+R_{\;jki}^{s}+R_{\;kij}^{s}\right)\phi _{s}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abff2a3e3523d8115ddbb0e7561aad6ff843e7d)
Оскільки функція
довільна, ми можемо взяти її рівній одній з координат (
— фіксований індекс):
![{\displaystyle (15)\qquad \phi =u^{\alpha },\qquad \phi _{s}=\delta _{s}^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baacc9f958fa7fff5e7d026aa90aa0c91a41dccf)
Підставляючи (15) в (14) одержуємо (з точністю до позначень індексів) алгебраїчну тотожність Біанкі (1).
Використовуючи тензор тензор метричної матрьошки, можна для довільного тензора
-рангу скласти наступний антисиметричний по всіх індексах тензор:
![{\displaystyle (16)\qquad A_{i_{1}\dots i_{m}}={1 \over m!}g_{i_{1}\dots i_{m}}^{j_{1}\dots j_{m}}T_{j_{1}\dots j_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f05a86c46d0c98056148b8b9ec4dcebbf5d82b9)
Очевидно, що антисиметричний тензор залишається незмінним після проведення процедури антисиметризації.
Застосуємо антисиметризацію до тензора Рімана:
![{\displaystyle (17)\qquad A_{sijk}={1 \over 4!}g_{sijk}^{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}R_{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}={1 \over 24}{\begin{vmatrix}\delta _{s}^{s_{1}}\delta _{i}^{s_{1}}\delta _{j}^{s_{1}}\delta _{k}^{s_{1}}\\\delta _{s}^{i_{1}}\delta _{i}^{i_{1}}\delta _{j}^{i_{1}}\delta _{k}^{i_{1}}\\\delta _{s}^{j_{1}}\delta _{i}^{j_{1}}\delta _{j}^{j_{1}}\delta _{k}^{j_{1}}\\\delta _{s}^{k_{1}}\delta _{i}^{k_{1}}\delta _{j}^{k_{1}}\delta _{k}^{k_{1}}\end{vmatrix}}R_{s_{1}i_{1}j_{1}k_{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e679a0ecdbf8aa5c943d83803dadd6d4eb1540)
При розкриванні визначника ми одержимо 24 доданка по перестановках індексів
, причому парні перестановки будуть зі знаком «плюс», а непарні — зі знаком «мінус»:
![{\displaystyle (18)\qquad A_{sijk}={1 \over 24}\left((R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij})-(R_{sjik}+R_{sikj}+R_{skji})+\dots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a58906269b2ac97fa7c2918954b74bb929bbdd1)
Усього в формулі (18) буде вісім груп доданків по три доданки в кожній. Враховуючи симетрії тензора Рімана легко бачити, що всі ці вісім груп однакові (із врахуванням знаків). Тому одержуємо:
![{\displaystyle (19)\qquad A_{sijk}={1 \over 3}(R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8bf3e877a294a5b93cc732f0a50f69915e0004)
Тепер алгебраїчну тотожність Біанкі можна словами описати так: антисиметризація тензора Рімана дорівнює нулю.
Кількість лінійно незалежних компонент внутрішньої кривини
[ред. | ред. код]
Якщо
— розмірність многовида, то кількість комбінацій в антисиметричній парі індексів дорівнює:
![{\displaystyle (20)\qquad \alpha =C_{n}^{2}={n(n-1) \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56735dbff27798d39705cfb7dfae4e641337f429)
Оскільки тензор Рімана симетричний щодо перестановки пар індексів, то його компоненти записуються (з точністю до знаку) через таку кількість різних чисел:
![{\displaystyle (21)\qquad \beta ={\alpha (\alpha +1) \over 2}={n(n-1) \over 4}\left({n(n-1) \over 2}+1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730194116aa99f69d13e1fe2ca3dbd3522726416)
Але ці числа пов'язані лінійними залежностями, які слідують з алгебраїчної тотожності Біанкі. Кількість цих рівнянь, як легко бачити з формули (19), дорівнює кількості істотно різних компонент антисиметричного тензора четвертого рангу
:
![{\displaystyle (22)\qquad \gamma =C_{n}^{4}={n(n-1)(n-2)(n-3) \over 24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae93ea198b4bf3c90c8ff921ca221e708733d661)
(зауважимо, що формула (22) дає правильний результат, тобто нуль, тоді коли
)
Отже кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана дорівнює різниці:
![{\displaystyle (23)\qquad N=\beta -\gamma ={n(n-1) \over 24}(3n(n-1)+6-(n-2)(n-3))={n^{2}(n^{2}-1) \over 12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c312c7e1706cfedf2d39c20d76a9c9290a7130)
Звичайно, формула (23) дає тільки максимально можливу кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана для даної розмірності многовида. А для конкретних многовидів ця кількість може бути меншою. Наприклад для плоского простору ця кількість дорівнює нулю, а для гіперповерхні в системі координат головних напрямків, маємо для індексів
формулу:
![{\displaystyle (24)\qquad R_{ijij}=k^{(i)}k^{(j)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b4007e14e2f5ca1766d83b520255f423b41eff)
а отже кількість лінійно незалежних компонент не перевищує кількості комбінацій з
по 2, тобто:
![{\displaystyle (25)\qquad N_{hypersurface}=C_{n}^{2}={n(n-1)/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8bd51c28e48a4a2b3cfa2309c2b115b59b63cb)
Зв'язок з іншими властивостями внутрішньої кривини
[ред. | ред. код]
Внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі, внутрішня кривина многовида повністю визначається за значеннями наступної квадратичної форми від бівекторів
:
![{\displaystyle (26)\qquad \Phi ({\boldsymbol {\sigma }})=R_{ijkl}\sigma ^{ij}\sigma ^{kl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d569df63845bcc47d3d5a43dde7183f3fb02aec)
Також з алгебраїчною тотожністю Біанкі пов'язана можливість альтернативного погляду на внутрішню кривину через Симетричний тензор внутрішньої кривини.
Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:
![{\displaystyle (1)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla _{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8194297ed7614f8bb8f83cc31245a436328cb687)
яка називається диференціальною тотожністю Біанкі.
Доведення з використанням спеціальної системи координат
[ред. | ред. код]
Достатнньо вибрати на многовиді якусь одну довільну точку
і довести рівність (1) у цій точці. Оскільки точка
довільна, то звідси слідуватиме справедливість тотожності (1) на всьому многовиді.
В точці
ми можемо вибрати таку спеціальну систему координат, що всі символи Крістофеля (але не їхні похідні) перетворюються в нуль в точці
(див. статтю Майже декартові координати в точці многовида). Тоді для коваріантних похідних в точці
маємо:
![{\displaystyle (2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}R_{\;rjk}^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14716d68145d0bc5bce7cf5d685a70f11f33e0a1)
Оскільки
![{\displaystyle (3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d97901152b688fbe82f2b25b70551795425536)
то в точці
маємо:
![{\displaystyle (4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{i}\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888acd6ab29ffab3ba002b336ea575cc089258ae)
Циклічно переставляючи в (4) індекси
одержимо ще дві рівності:
![{\displaystyle (5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\partial _{j}\partial _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\partial _{j}\partial _{i}\Gamma _{kr}^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dada15cc761be97c85cfd16fdc579190ff93dde)
![{\displaystyle (6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\partial _{k}\partial _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\partial _{k}\partial _{j}\Gamma _{ir}^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b744c9dae27337814bd1f4b96f22879a712d2b)
Легко бачити, що при додаванні рівностей (4), (5) і (6) в лівій частині рівняння буде вираз (1), а в правій, врахувавши комутативність частинних похідних, усі доданки взаємно знищаться і ми одержимо нуль.
- Якщо існує декартова система координат, то
![{\displaystyle R_{ijkl}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebacd81cf6c1ea5140272e218b9cff300594422)
Якщо на многовиді існує декартова система координат (в якій метричний тензор дорівнює одиничній матриці
), то в цій системі координат всі похідні метричного тензора
, а отже і всі символи Крістофеля тотожно дорівнюють нулю:
![{\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={1 \over 2}g^{ks}(\partial _{i}g_{js}+\partial _{j}g_{is}-\partial _{s}g_{ij})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb8a59f4448dc3abbd3fdb024d206f3b0741b47)
Отже і всі компоненти тензора Рімана в декартовій системі координат дорівнюють нулю:
![{\displaystyle R_{\;ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ik}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ij}^{k}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ik}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ij}^{p}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a520a703826d5d35f4447bbce8b66ead3138fc)
Але оскільки тензор Рімана при переході в іншу систему координат перетворюється по тензорним правилам:
![{\displaystyle {\tilde {R}}_{\;ijk}^{s}=R_{\;lmn}^{p}{\partial {\tilde {u}}^{s} \over \partial u^{p}}{\partial u^{l} \over \partial {\tilde {u}}^{i}}{\partial u^{m} \over \partial {\tilde {u}}^{j}}{\partial u^{n} \over \partial {\tilde {u}}^{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768df7765482dcd25e3ecda0fba18b5edcaa8d5f)
то він дорівнює нулю в будь-якій іншій системі координат на цьому многовиді.
- Якщо
, то можна побудувати декартову систему координат
Нехай тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида. Візьмемо довільну точку
в межах цієї області - ця точка буде початком нашої майбутньої декартової системи координат. В точці виберемо якийсь ортонормований базис - вектори цього базису будуть задавати додатні напрямки координатних осей майбутньої системи координат.
Розглянемо один із векторів базису, який поки що для простоти позначимо буквою
(взагалі-то кількість базисних векторів
, і треба було б позначити індексом, який із базисних векторів ми розглядаємо; але поки ми зосередимося на побудові однієї координати).
Користуючись паралельним перенесенням починаючи з точки
, в кожній точці області многовида побудуємо вектор, паралельний вектору
. Результат перенесення не залежить від шляху переносу (оскільки тензор Рімана дорівнює нулю), а залежить тільки від кінцевої точки. Таким чином ми одержали в нашій області векторне поле:
![{\displaystyle (1)\qquad v_{i}=v_{i}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a1e46b1a27f8e79215e4dd5bf7511a21f8aa3f)
яке до того ж є постійним стосовно коваріантного диференціювання, тобто справедливі рівності:
![{\displaystyle (2)\qquad \nabla _{j}v_{i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a216621cec2b13cd9902fd979dcd6e6642fb99e)
З останнього рівняння, враховуючи означення коваріантної похідної і симетрію символів Крістофеля, знаходимо:
![{\displaystyle (3)\qquad 0=\nabla _{j}v_{i}-\nabla _{i}v_{j}=(\partial _{j}v_{i}-\Gamma _{ji}^{k}v_{k})-(\partial _{i}v_{j}-\Gamma _{ij}^{k}v_{k})=\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}v_{j}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16cf1b75c4c8312d50f6ea4178349c1e4e5fa552)
Тепер, оскільки
![{\displaystyle (4)\qquad \partial _{j}v_{i}=\partial _{i}v_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2407079f416ef5147b394636abe6edc1e1b346e8)
То вектор є градієнтом деякої скалярної функції
:
![{\displaystyle (5)\qquad v_{i}=\partial _{i}\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb787f3b8797797d02cf4f1304565195f4353d4)
Функцію
в якійсь точці
області многовида можна обчислити через інтеграл по кривій, що сполучає початок координат
і точку
:
![{\displaystyle (7)\qquad \phi {\big |}_{Q}=\int _{P}^{Q}v_{i}du^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c85eaeebfde96cea86bf020d8f93c556937fd95)
причому результат інтегрування не залежить від кривої (внаслідок формули Стокса і рівності (5)).
Функція
і буде однією з координат. Тепер повернемося до інших векторів базису, цього разу уже пронумеруємо ці вектори індексом, взятим у дужки. Так само для кожного такого вектора побудуємо в нашій області відповідне постійне векторне поле, яке є градієнтом відповідної координати:
![{\displaystyle (8)\qquad v_{i}^{(k)}=\partial _{i}\phi ^{(k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75c94097b0845f83b77fbc207082b140f008f73)
Оскільки паралельне перенесення групи векторів зберігає скалярні добутки між ними, а в початку координат ці скалярні добутки дорівнюють одиничній матриці, то в усій області маємо:
![{\displaystyle (9)\qquad g^{ij}{\partial \phi ^{(k)} \over \partial u^{i}}{\partial \phi ^{(l)} \over \partial u^{j}}=\delta ^{kl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f30d74da8ffb0b51501ef6e676ab4ccf3b6c80)
тобто координати
є декартовими.
Розглянемо рівність:
![{\displaystyle (10)\qquad R_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})-(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7158e94bdf8ea0b8957752ee1018ce46fedde675)
в якійсь точці
многовиду, і дві геодезичні лінії, що проходять через цю точку, але в різних напрямках. Кривини цих геодезичних дорівнюють:
![{\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc82ef61964315d93d848ea34e33db039fba9b3)
![{\displaystyle {\tilde {\mathbf {k} }}=\mathbf {b} _{ij}{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99cb951ae8435647777eee3acbfb596116558fb0)
Тепер домножимо (10) на добуток
, одержимо:
![{\displaystyle (\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {k} }})=(\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}{\tilde {\tau }}^{j})^{2}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de4e7e88fe50415202dc359279ca9f1b94f9641)
Висновок - кривини всіх геодезичних напрямлені приблизно в один бік, многовид не має сідлових точок, в яких би різні геодезичні викривлялися в протилежні боки.