Теорема Блоха (комплексний аналіз)

В комплексному аналізі теорема Блоха стверджує, що для кожної функції голоморфної в одиничному крузі, що задовольняє деякі додаткові вимоги в образі функції міститься круг деякого незалежного від функції радіуса, на якому існує обернена голоморфна функція.

Твердження

Нехай $f$ — голоморфна функція в деякій області, що містить одиничний круг ${\overline {B}}(0,1)=\{z\in {\mathbb {C} },|z|\leq 1\}$. Припустимо що $f'(0)=1$. Тоді існує круг $S\subset B(0,1)$, на якому дана функція є ін'єктивною і образ $f(S)$ містить круг радіуса більшого, ніж $1/72$. Зокрема обернена функція на цьому крузі буде біголоморфізмом.

З цього твердження легко одержується узагальнення: якщо $G\subset {\mathbb {C} }$ — область у $\mathbb {C}$, $f\colon G\to {\mathbb {C} }$ — голоморфна функція і $f'(c)\not =0$ для деякої точки $c\in G$. Тоді $f(G)$ містить відкрите кого радіуса ${\frac {1}{72}}\cdot \rho \cdot f'(c)$, де $\rho <d(c,\partial G)$, на якому існує обернена біголоморфна функція.

Теорема Ландау

Якщо $f$ є голоморфною функцією в одиничному крузі з властивістю $f'(0)=1$, тоді образ $f$ містить круг радіуса $l$, де $l\geqslant b$ є абсолютною константою, що не залежить від конкретної функції.

Ця теорема, яка іноді також називається теоремою Блоха — Ландау, названа на честь Едмунда Ландау.

Теорема Валірона

Історично значний вплив на формулювання теореми Блоха відіграла теорема Валірона:

Якщо $f$ є цілою функцією, тоді існують круги $D$ довільного радіуса і голоморфні в D функції $\varphi$, такі що$f(\varphi (z))=z$ для всіх $z\in D$.

Доведення

Лема 1

Розглянемо функцію $w=f(z)$, голоморфну у крузі $B(0,R)=\{z\in {\mathbb {C} },|z|\leq R\}$, причому $|F(z)|\leqslant M$. Нехай $f(0)=0$ і $|f'(0)|=\mu$. Тоді $M\geqslant R\mu$ і $f(B(0,R))\supset B\left(0,{\frac {(R\mu )^{2}}{6M}}\right)$.

Доведення

Ввівши функцію $F(z)={\frac {f(Rz)}{(Rf'(0))^{-1}}}$, отримаємо, що $F(z)$ є голоморфною в крузі $B(0,1)$, $f(0)=0$, $|f'(0)|=1$ і в твердженні теореми $M\geqslant 1$. Відповідно доведення можна здійснити у цьому випадку.

Для доведення теореми будемо виходити з розкладу $F(z)$ в ряд Тейлора: $F(z)=z+a_{2}z^{2}+\ldots$.

Коефіцієнти розкладу задовольняють нерівності Коші $|a_{i}|\leqslant {\frac {M}{r^{i}}}$ для $0<r<1$. Звідси, зокрема, $1=a_{1}\leqslant M$.

На колі $|z|=(4M)^{-1}$ для модуля $|F(z)|$ отримуємо оцінку

$|F(z)|\geqslant |z|-\sum _{n=2}^{\infty }|a_{n}z^{n}|\geqslant (4M)^{-1}-\sum _{n=2}^{\infty }M(4M)^{-n}=(4M)^{-1}-(16M-4)^{-1}\geqslant (6M)^{-1}$

Припустимо $|w|<(6M)^{-1}$. Тоді функція $g(z)=F(z)-w$ має нуль. Для $|z|=(4M)^{-1}$ маємо $|F(z)-g(z)|=|w|<(6M)^{-1}\leqslant |f(z)|$

Згідно теореми Руше $g$ має в крузі $B(0,(4M)^{-1})$ стільки ж коренів, скільки їх має в цьому крузі $f$. Оскільки за припущенням $F(0)=0$ то і $g(z_{0})=0$ для деякого $z_{0}\in B(0,(4M)^{-1})$. Тому $f(B(0,1))\supset B(0,1/6M)$.

Лема 2

Нехай $f$ є голоморфною функцією в крузі $B(a,r)$ і також $|f'(z)-f'(a)|<|f'(a)|$ для всіх $z\in B(a,r)$. Тоді $f$ є бієктивною функцією на $B(a,r)$.

Доведення

Якщо $z_{1}\neq z_{2}$ — дві точки у $B(a,r)$ і $\gamma =[z_{1},z_{2}]$ — відрізок, що їх сполучає то згідно нерівності трикутника:

$|f(z_{1})-f(z_{2})|=\left|\int _{\gamma }f'(z)dz\right|\geqslant \left|\int _{\gamma }f'(a)dz\right|-\left|\int _{\gamma }(f'(z)-f'(a))dz\right|\geqslant |f'(a)||z_{1}-z_{2}|-\int _{\gamma }\left|\left(f'(z)-f'(a)\right)\right||dz|$.

Зважаючи на гіпотезу $|f(z_{1})-f(z_{2})|>0$, тобто $f(z_{1})\neq f(z_{2})$ і функція є ін'єктивною.

Доведення теореми Блоха

Для $0\leqslant r\leqslant 1$ позначимо $K(r)=\max\{|f'(z):|z|=r\}$ і $h(r)=(1-r)K(r)$. Тоді $h$ є неперервною функцією і $h(0)=1,h(1)=0$. Нехай $r_{0}=\sup\{r:h(r)=1\}$. Тоді $h(r_{0})=1,r_{0}<1$ і для всіх $r>r_{0}$ виконується нерівність $h(r)<1$.

Нехай число $a$ таке, що $|a|=r_{0}$ і $|f'(a)=K(r_{0})|$. Тоді $|f'(a)|=(1-r_{0})^{-1}$.

Якщо $|z-a|<1/2(1-r_{0})=\rho _{0},$ то $|z|<1/2(1+r_{0})$. Оскільки $r_{0}<1/2(1+r_{0})$ то з означення $r_{0}$ отримуємо:

$|f'(z)|\leqslant K(1/2(1+r_{0}))={\frac {h(1/2(1+r_{0}))}{(1-1/2(1+r_{0}))^{-1}}}<(1-1/2(1+r_{0}))^{-1}={\frac {1}{\rho _{0}}}$

для $|z-a|<\rho _{0}$.

З попереднього $|f'(z)-f'(a)|\leqslant |f'(z)|+|f'(a)|<3/2\rho _{0}$.

Згідно леми Шварца звідси випливає, що $|f'(z)-f'(a)|<{\frac {3|z-a|}{2\rho _{0}^{2}}}$ для $z\in B(a,\rho _{0})$.

Тому якщо $z\in S=B(a,1/3\rho _{0})$ то $|f'(z)-f'(a)|<{\frac {1}{2\rho _{0}}}=|f'(a)|$. З леми 2 випливає що $f$ є ін'єктивним на $S$.

Визначимо $g:B(0,1/3\rho _{0})\to \mathbb {C}$ як $g(z)=f(z+a)-f(a)$. Тоді $g(0)=0,\;|g'(0)|=|f'(a)|=(2\rho _{0})^{-1}$. Якщо $z\in B(a,1/3\rho _{0})$ тоді відрізок $\gamma =[a,a+z]$ лежить у $S\subset B(a,\rho _{0})$.

Тому з попереднього $|g(z)|=\left|\int _{\gamma }f'(w)dw\right|\leqslant {\frac {|z|}{\rho _{0}}}<1/3$.

З леми 1 отримуємо, що $g(B(0,1/3\rho _{0}))\supset B(0,\sigma )$ де $\;\;\sigma {\frac {(1/3\rho _{0})^{2}(2\rho _{0})^{-2}}{2}}={\frac {1}{72}}$.

Якщо перевести це твердження для $f$ то $f(S)\supset B(f(a),1/72)$, що завершує доведення.

Константи Блоха і Ландау

Константа 1/72 в теоремі Блоха не є оптимальною.

Число B, що рівне супремуму всіх b, для яких справджується теорема Блоха, називається константою Блоха . Згідно теореми Блоха $B>1/72$ але точне значення B залишається невідомим.

Подібним чином визначена константа L в теоремі Ландау називається константою Ландау. Її точне значення теж не є відомим.

Найточнішими відомими обмеженнями для B є

$0.4332\approx {\frac {\sqrt {3}}{4}}+2\times 10^{-4}\leq B\leq {\sqrt {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {11}{12}})}{\Gamma ({\frac {1}{4}})}}\approx 0.4719,$

де $\Gamma$ позначає Гамма-функцію. Нижня межа була знайдена у статті Чена і Готьє, верхня межа — у статті Альфорса і Грунського.

Для константи Ландау відомі обмеження

$0.5<L\leq {{\Gamma {{1} \over {3}}\Gamma {{5} \over {6}}} \over {\Gamma {{1} \over {6}}}}=0.543258965342...\,\!$

В своїй статті Альфорс і Грунський сформулювали гіпотезу, що вказані верхні обмеження є рівними константам Блоха і Ландау.

Джерела

• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
• Ahlfors, Lars Valerian; Grunsky, Helmut (1937). Über die Blochsche Konstante. Mathematische Zeitschrift. 42 (1): 671—673. doi:10.1007/BF01160101.
• Baernstein, Albert II; Vinson, Jade P. (1998). Local minimality results related to the Bloch and Landau constants. Quasiconformal mappings and analysis. Ann Arbor: Springer, New York. с. 55—89.
• Bloch, André (1925). Les théorèmes de M.Valiron sur les fonctions entières et la théorie de l'uniformisation. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 17 (3): 1—22. ISSN 0240-2963.
• Chen, Huaihui; Gauthier, Paul M. (1996). On Bloch's constant. Journal d'Analyse Mathématique. 69 (1): 275—291. doi:10.1007/BF02787110.
• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.