Якщо послідовність функцій голоморфних в області є рівномірно обмежена на компактних підмножинах і для всіх що належить підмножині що має граничну точку всередині існує границя то є рівномірно збіжною на компактних підмножинах до функції що є голоморфною на
Зауваження. Аналог теореми для функцій багатьох змінних є невірним. Наприклад можна взяти за — бікруг із змінними і розглянути послідовність функцій
Припустимо, що послідовність не є збіжною в деякій точці Тоді з послідовності чисел можна виділити дві підпослідовності, що збігаються до різних чисел і Нехай відповідні підпослідовності функцій будуть і
Послідовності і є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах і тому, згідно теореми Монтеля з них можна виділити нові підпослідовності і що рівномірно на компактних підмножинах збігаються до функцій і Згідно теореми Вейєрштраса ці функції є голоморфними на . Оскільки то також Але послідовності і як підпослідовності з збігаються на всіх точках до однакових границь, тож для всіх Але має граничну точку всередині і тому, згідно теореми про рівність Одержане протиріччя доводить, що послідовність є збіжною в усій області Рівномірна збіжність на компактних підмножинах випливає із теореми Монтеля.