У математиці теорема Гельдера стверджує, що гамма-функція не задовольняє жодного алгебраїчного диференціального рівняння[en], коефіцієнти якого є раціональними функціями.
Вперше цей результат довів Отто Гельдер в 1887 році; згодом було знайдено декілька альтернативних доведень.[1]
Теорема також узагальнюється на випадок
-гамма-функції.
Для будь-якого
не існує ненульового многочлена
![{\displaystyle P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adf569b2f9fa18cc4e7e8b149a8990cad8e9ace)
такого, що
![{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}\colon \quad P{\big (}z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\dots ,{\Gamma ^{(n)}}(z){\big )}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a49379e86e7a98e73228ae99a842755f2cc6216)
де
— гамма-функція.
Наприклад, визначимо
як
![{\displaystyle P{\overset {\text{df}}{=}}X^{2}Y_{2}+XY_{1}+{\big (}X^{2}-\nu ^{2}{\big )}Y_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb7388da464b0f93bbddada704837ebce5748c0)
Тоді рівняння
![{\displaystyle P{\big (}z;f(z),f'(z),f''(z){\big )}=z^{2}f''(z)+zf'(z)+{\big (}z^{2}-\nu ^{2}{\big )}f(z)\equiv 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566fa8ca76159c845a7e968aa4eefa72b07f8fce)
називається алгебраїчним диференціальним рівнянням, яке в даному випадку має розв'язки
та
— функції Бесселя першого та другого роду відповідно; розв'язки
та
називаються диференціально алгебраїчними (або алгебраїчно трансцендентними).
Більшість знайомих спеціальних функцій математичної фізики є диференціально алгебраїчними.
Усі алгебраїчні комбінації диференціально алгебраїчних функцій є диференціально алгебраїчними.
Крім того, усі композиції диференціально алгебраїчних функцій є диференціально алгебраїчними.
Теорема Гельдера просто стверджує, що гамма-функція
не є диференціально алгебраїчною і, отже, гіпертрансцендентною[en]. [2]
Нехай
і існує ненульовий многочлен
такий, що
![{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad P{\big (}z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\dots ,\Gamma ^{(n)}(z){\big )}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f6866fffd4a649b2ef839ce110e84cd031a3d8)
Оскільки ненульовий многочлен в
ніколи не може бути нульовою функцію на будь-якій непорожній відкритій області в
(за основною теоремою алгебри), то не втрачаючи загальності можна вважати, що многочлен
містить одночлен ненульового степеня від однієї із змінних
.
Припустимо, що
має найнижчий можливий загальний степінь відносно лексикографічного впорядкування
.
Наприклад,
![{\displaystyle \deg {\big (}{-}3X^{10}Y_{0}^{2}Y_{1}^{4}+iX^{2}Y_{2}{\big )}<\deg {\big (}2XY_{0}^{3}-Y_{1}^{4}{\big )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a0911e59a2760d7a5541c93b2b5cd0b0ec8edfc)
оскільки найбільший степінь
в будь-якому одночлені першого многочлена менший ніж у другого многочлена.
Далі зауважимо, що для всіх
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}P\left(z+1;\Gamma (z+1),\Gamma '(z+1),\Gamma ''(z+1),\ldots ,\Gamma ^{(n)}(z+1)\right)&=P\left(z+1;z\Gamma (z),[z\Gamma (z)]',[z\Gamma (z)]'',\ldots ,[z\Gamma (z)]^{(n)}\right)\\&=P\left(z+1;z\Gamma (z),z\Gamma '(z)+\Gamma (z),z\Gamma ''(z)+2\Gamma '(z),\ldots ,z{\Gamma ^{(n)}}(z)+n{\Gamma ^{(n-1)}}(z)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a82be6de490a9b6d1bb0208608ba1fb52f272f)
Якщо визначити другий многочлен
за допомогою перетворення
![{\displaystyle Q{\stackrel {\text{df}}{=}}~P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\dots ,XY_{n}+nY_{n-1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0bfb06ae8757c7e690d7791225416216cf00d04)
то отримаємо наступне алгебраїчне диференціальне рівняння для
:
![{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}\colon \quad Q{\big (}z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\dots ,{\Gamma ^{(n)}}(z){\big )}\equiv 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bac35dadd4cf23681f97fa302cc28624705475)
Більш того, якщо
— одночлен найвищого степеня в многочлені
, то одночлен найвищого степеня в многочлені
має вигляд
![{\displaystyle X^{h+h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}Y_{0}^{h_{0}}Y_{1}^{h_{1}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f1648506e5667764764cc2ca50165adfc3220e)
Отже, многочлен
![{\displaystyle Q-X^{h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994c652d0b8b9ea0f15e90a544e6f0dab3164a67)
має менший загальний степінь ніж многочлен
, і оскільки він породжує алгебраїчне диференціальне рівняння для
, то він повинен бути нульовим многочленом за припущенням мінімальності многочлена
.
Звідси визначаючи
як
![{\displaystyle R{\overset {\text{df}}{=}}X^{h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a091ffc5ed759e2b1ec45166fc4776e0f5f028)
отримаємо
![{\displaystyle Q=P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba086b087b4465de6e3ac845ebda9de8541db0fe)
Тепер покладемо
в многочлені
:
![{\displaystyle Q(0;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})=P(1;0,Y_{0},2Y_{1},\ldots ,nY_{n-1})=R(0)\cdot P(0;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799c29274bdfbfa46f04fb87ad1b40336e504335)
Після заміни змінних отримуємо
![{\displaystyle P(1;0,Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce749f2b62447402fd60ee46401923dc2aa129cd)
і застосовуючи принцип математичної індукції (разом із заміною змінних на кожному кроці індукції) до попереднього виразу, отримуємо
![{\displaystyle P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944d7e211ce8e52686b367ba291c39dbd27561b0)
Таким чином,
![{\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} \colon \quad P(m;0,Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e81d2e7f28e0550d62cb2a1a16f73048a9d320)
Це можливо лише, якщо
ділиться на
, але це суперечить припущенню про мінімальність многочлена
.
Отже, такого многочлена
не існує, і тому
не є диференціально алгебраїчною. Що й треба було довести.[2][3]
- ↑ Bank, Steven B. & Kaufman, Robert. “A Note on Hölder’s Theorem Concerning the Gamma Function”, Mathematische Annalen, vol 232, 1978.
- ↑ а б Rubel, Lee A. “A Survey of Transcendentally Transcendental Functions”, The American Mathematical Monthly 96: pp. 777-788 (November 1989). JSTOR 2324840
- ↑ Boros, George & Moll, Victor. Irresistible Integrals, Cambridge University Press, 2004, Cambridge Books Online, 30 December 2011. DOI:10.1017/CBO9780511617041.003