Теорема Громова про компактність (ріманова геометрія)

Теорема Громова про компактність або теорема вибору Громова стверджує, що множина ріманових многовидів даної розмірності з кривиною Річчі ≥ c і діаметром ≤ D є відносно компактною в метриці Громова — Гаусдорфа .

Історія

Теорему довів Громов, у доведенні використано нерівність Бішопа — Громова.

Поява цієї теореми підштовхнула вивчення александрівських просторів обмеженої знизу кривини в розмірностях 3 і вище і, пізніше, узагальнених просторів з обмеженою знизу кривиною Річчі.

Варіації та узагальнення

• Теорема є узагальненням теореми Маєрса.

Теорема Громова — наслідок такого твердження:

• будь-яке універсально цілком обмежене сімейство метричних просторів є відносно компактним у метриці Громова — Гаусдорфа.
  • Сімейство $X$ метричних просторів називається універсально цілком обмеженим, якщо для будь-якого $\varepsilon >0$ існує ціле додатне число $N(\varepsilon )$ таке, що будь-який простір з $X$ допускає $\varepsilon$-мережу з не більше ніж $N(\varepsilon )$ точок.

Див. також

• Теорема вибору Бляшке

Література

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.