Теорема Енгеля — твердження в теорії алгебр Лі щодо еквівалентності різних означень нільпотентності для цих алгебр.
Нехай
— скінченновимірна алгебра Лі над довільним полем k. Якщо
— підмножини алгебри, то
позначає скінченні суми елементів виду
де
Нижній центральний ряд алгебри Лі вводиться послідовно:
.
Якщо
— підалгебра Лі, то можна також ввести зростаючі центральні ряди:
Для позначення
також використовується
Алгебра Лі називається нільпотентною, якщо
для деякого числа. Еквівалентно, якщо ввести позначення
то алгебра Лі буде нільпотентною якщо для деякого натурального числа n і
виконується adX1adX2 ⋅⋅⋅ adXn = 0.
Алгебра Лі
називається ad-нільпотентною, якщо кожне лінійне відображення
є нільпотентним.
Скінченновимірна алгебра Лі над довільним полем k є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли вона є ad-нільпотентною.
Якщо алгебра Лі є нільпотентною, то існує число n для якого adX1adX2 ⋅⋅⋅ adXn = 0 для всіх
Зокрема звідси
і всі оператори
є нільпотентними.
Навпаки, нехай
— скінченновимірна ad-нільпотентна алгебра Лі. Алгебра Лі є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли факторалгебра
по центру алгебри є нільпотентною. Дійсно ця факторалгебра є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли для деякого n виконується
Але тоді
Для введених вище зростаючих центральних рядів
а
є центром алгебри
Тому
тоді і тільки тоді коли
Якщо для підалгебри
усі лінійні оператори
є нільпотентними, то
З цього твердження для
і попереднього критерію нільпотентності випливає теорема Енгеля.
Доведення можна здійснювати по розмірності алгебри
. Для n=1 воно відразу випливає із означення нільпотентності
. Нехай розмірність
є більшою одиниці і
— її максимальна власна підалгебра Лі. Тоді згідно припущення індукції існує число m для якого
і
Візьмемо таке число j, що
але
Нехай також
Тоді
і тому
є підалгеброю у
і зважаючи на максимальність
і
є ідеалом у
Далі
для всіх i. Справді, очевидно
і якщо твердження справедливе для всіх чисел менше i і
то
і тому
Далі, оскільки відображення
є нільпотенним і стабілізує підалгебри послідовності
![{\displaystyle 0=C_{\mathfrak {g}}^{0}({\mathfrak {j}})\subset \ldots \subset C_{\mathfrak {g}}^{m}({\mathfrak {j}})={\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bfd18b0465686813ae12ddaf76d269129bcd7f6)
то існує подрібнення
![{\displaystyle 0=B^{0}\subset \ldots \subset B^{n}={\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a8632c95188742f4d6ef3d7cff41b2f62f5f6d)
для якого
і також
.
Звідси
і