Теорема Енна

Суми площ протилежних трикутників рівні, тобто $|\triangle BCL|+|\triangle DAL|=$ $|\triangle LAB|+|\triangle DLC|$

В Евклідовій геометрії Теорема Енна ^{:стор.1, теорема1} описує рівність певних площ у опуклому чотирикутнику.

Названа на честь французького математика П'єра-Леона Анна (Енна) (1806—1850).

Опис

В теоремі зазначено: ^{:стор.1, теорема1}, ^{:стор.174 :стор.95},

Нехай ABCD — опуклий чотирикутник з діагоналями AC і BD, який не є паралелограмом. Точки E, F — середини цих діагоналей, а L — довільна точка всередині ABCD.

Якщо сполучити L з вершинами чотирикутника, утвориться чотири трикутники ALB, BLC, CLD та DLA. Якщо дві суми площ протилежних трикутників рівні, тоді точка L знаходиться на прямій Ньютона, тобто лінії, яка з'єднує E і F.

Існує багато доказів цієї теореми. Наступний доказ належить австралійському математику Безілу Ренні. ^{:стор.175}

Доведення  

Нехай L(x, y) — довільна точка де-якого геометричного місця в будь-якій зручній декартовій системі відліку, пов'язаній з чотирикутником.

Тепер, площі трикутників з нерухомою основою і рухомою вершиною (x, y), є лінійними функціями від координат x та y (що визначають висоти цих трикутників). Якщо вершина спільна для двох трикутників, їх загальна площа все одно є лінійною функцією координат рухомої вершини. Таким чином, умова, що визначає геометричне місце точок L, задається лінійним рівнянням.

Відповідно, геометричне місце має бути обмежене деякою прямою.

А оскільки медіана трикутника ділить його площу навпіл, то чітко видно, що середини діагоналей ABCD лежать на даному геометричному місці, з чого випливає висновок: дане геометричне місце — пряма, що сполучає середини діагоналей чотирикутника.

Отже, згідно теореми Енна: S_ΔBCL+S_ΔDAL=S_ΔLAB+S_ΔDLC, якщо точка L знаходиться на прямій Ньютона, тобто лінії, яка з'єднує середини діагоналей E і F чотирикутника.

Прямої Ньютона не існує для паралелограма, оскільки його діагоналі діляться навпіл точкою перетину. А тотожність площ виконується для будь-якої внутрішньої точки паралелограма.

Для описаного чотирикутника, теорема Ньютона є прямим наслідком теореми Енна. ^:стор.99

Теорема Енна є оборотною. ^{:стор.2, теорема 2} Тобто якщо точка лежить на відрізку лінії Ньютона, що знаходиться всередині чотирикутника, то виконується рівність сум площ зазначених трикутників.

Джерела

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, ISBN 9780883853481, pp. 116–117 (online copy, с. 116, на «Google Books»)
• Ross Honsberger. More Mathematical Morsels. — Cambridge University Press, 1991. — С. 322: стор 174-175. — ISBN 0883853140. online copy, с. 174, на «Google Books»

• Jobbings, Andrew (2013), The Converse of Leon Anne's Theorem[Архівовано 2014-03-04 у Wayback Machine.]

• Humenberger, Hans; Schuppar, Berthold (2019), Balanced areas in quadrilaterals – Anne’s Theorem and its unknown origin, т. 17/1, Teaching Mathematics and Computer Science, с. 93—103, doi:10.5485/TMCS.2019.0462

Посилання

• Newton's and Léon Anne's Theorems at cut-the-knot.org
• Weisstein, Eric W. Leon Anne's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.