Теорема Коші — Адамара

Теорема Коші — Адамара — важливий результат в дійсному і комплексному аналізі про радіус збіжності степеневих рядів. Теорема названа на честь Огюстена Коші і Жака Адамара.

Твердження

Нехай маємо деякий степеневий ряд з комплексними коефіцієнтами:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}

і

R

— його радіус збіжності.

Тоді справедлива формула:

{1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}

де

\varlimsup \limits

позначає верхню границю.

Зокрема якщо ${\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}=0$ то ряд є збіжним для всіх комплексних чисел, якщо ж ${\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}=\infty$ то ряд є збіжним лише в нулі.

Аналог теореми справедливий і для функцій дійсної змінної.

Доведення

Доведемо, що степеневий ряд $\sum a_{n}z^{n}$ збігається для $|z|<R$ і розбігається для $|z|>R$ . Тут $R$ визначене через границю в твердженні теореми.

Нехай $|z|<R$ і позначимо $t=1/R$ Тоді для довільного $\varepsilon >0$ , існує лише скінченна підмножина чисел $n$ для яких ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\geq t+\varepsilon$ . Отож $|a_{n}|\leq (t+\varepsilon )^{n}$ для всіх $n$ окрім деякої скінченної кількості, тому ряд $\sum a_{n}z^{n}$ збігається якщо $|z|<1/(t+\varepsilon )$ .

Навпаки для $\varepsilon >0$ , $|c_{n}|\geq (t-\varepsilon )^{n}$ для нескінченної кількості $c_{n}$ , тож якщо $|z|=1/(t-\varepsilon )>R$ , ряд не може збігатися адже його члени не прямують до 0. Дане доведення справедливе як для додатного скінченного радіуса збіжності, так і для нульового і нескінченного.