Теорема Крамера — Вольда

Теоре́ма Кра́мера — Во́льда — твердження в статистиці, теорії ймовірностей та теорії міри, що дозволяє звести окремі властивості багатовимірних ймовірнісних розподілів до одновимірних. Названа на честь шведського математика Гаральда Крамера і норвезького статистика Германа Вольда.

Твердження теореми

Нехай

${\overline {X}}_{n}=(X_{n1},\dots ,X_{nk})\;$

і

$\;{\overline {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})$ — випадкові вектори розмірності  k. Тоді $X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X$ (збіжність за розподілом) якщо і тільки якщо:

$\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{ni}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}.$

для кожного $(t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}$, тобто довільна фіксована лінійна комбінація ${\overline {X}}_{n}$ збігається за розподілом до відповідної лінійної комбінації елементів вектора ${\overline {X}}$.

Зокрема $X{\overset {\mathcal {D}}{=}}Y$ (тобто випадкові вектори розмірності k мають однаковий розподіл) тоді і тільки тоді коли $\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}\,{\overset {\mathcal {D}}{=}}\,\sum _{i=1}^{k}t_{i}Y_{i},\;\forall (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}.$

Доведення

Теорема Крамера—Вольда легко одержується з властивостей характеристичної функції, що у багатовимірному випадку визначається формулою:

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} {\big [}\,\exp({i\,t^{T}\!X})\,{\big ]}.$

Згідно з властивостями характеристичних функцій $X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X\iff \varphi _{X_{n}}(\cdot )\to \varphi _{X}(\cdot ),$ де збіжність функцій є поточковою. Але $\varphi _{X}(st)=\varphi _{t^{'}X}(s)$ і тому:

${\begin{aligned}X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X&\iff \varphi _{X_{n}}(st)\to \varphi _{X}(st),\;\forall s\in \mathbb {R} ,\forall t\in \mathbb {R} ^{k}\iff \\&\iff \varphi _{t^{'}X_{n}}(t)\to \varphi _{t^{'}X}(st),\;\forall s\in \mathbb {R} ,\forall t\in \mathbb {R} ^{k}\iff \\&\iff \sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{ni}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}\;\forall t\in \mathbb {R} ^{k}.\end{aligned}}$

Джерела

• Martin Bilodeau, David Brenner (1999), Theory of Multivariate Statistics, Springer, ISBN 0387987398
• Durrett, R. Probability. Theory and examples. (2010)

Посилання

• Project Euclid: «When is a probability measure determined by infinitely many projections?»