Теорема Кронекера — Капеллі

Теорема Кронекера — Капеллі — критерій сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b} .$

СЛАР має розв'язки тоді й лише тоді, коли ранг її матриці $\ A$ дорівнює рангу її розширеної матриці $\ B=[A|\mathbf {b} ].$

• Система має єдиний розв'язок, якщо ранг дорівнює кількості невідомих,
• і нескінченно багато розв'язків, якщо ранг менший кількості невідомих.

Необхідність

Нехай СЛАР сумісна, тоді існує розв'язок: $\ x_{1},\dots ,x_{n}$ такий, що $\ \mathbf {b} =x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}.$

Тобто, стовпець $\ \mathbf {b}$ є лінійною комбінацією стовпців матриці $\ A.$

Отже $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} B.$

Достатність

Нехай $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} B=r.$ Візьмемо у матриці $\ A$ будь-який базисний мінор.

Так як $\operatorname {rang} B=r$, то він буде базисним мінором і для матриці $\ B.$

Тоді згідно з теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриці $\ B$ буде лінійною комбінацією базисних стовпчиків, тобто стовпців матриці $\ A.$

Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці $\ A,$ коефіцієнти такої лінійної комбінації і будуть розв'язком СЛАР.

Див. також

• Метод Крамера
• Метод Гауса
• Список об'єктів, названих на честь Леопольда Кронекера
• Список об'єктів, названих на честь Альфредо Капеллі

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Ланкастер П.. Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Теорема Кронекера — Капеллі // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 42. — 594 с.