Теорема Лагранжа про обернення рядів — теорема в математичному аналізі про побудову ряду Тейлора для оберненої функції до даної аналітичної функції.
Нехай функцію z від змінної w задано рівнянням
![{\displaystyle f(w)=z\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fddce822576d2f7a5f0c3b1895f22c2877dc16ce)
де f — аналітична в точці a та f '(a) ≠ 0. Тоді можна подати w у вигляді ряду
![{\displaystyle w=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601148b39fd8c3204560b818f85283841de5a9f3)
де
![{\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f06abce9b98fa534f28de6faceb36a78a13392)
Теорема стверджує, що цей ряд має не нульовий радіус збіжності в околі
.
Якщо опустити вимогу аналітичності, формулу можна узагальнити для формальних степеневих рядів.
Теорему довів Лагранж і узагальнив Гансом Бюрман у XVIII столітті.
Якщо f — формальний степеневий ряд, то формула не дає змоги виразити коефіцієнти ряду оберненої функції через коефіцієнти ряду початкової функції. Якщо функції f та g подано формальними степеневими рядами
![{\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4666238d807a163c18ad2e8f953b88c0a8e2c0bf)
а також f0 = 0 та f1 ≠ 0, то явну формулу для коефіцієнтів оберненого ряду можна подати через поліноми Белла:
![{\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{(k)}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\quad n\geq 2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a55ceedcbe05856017fe4e3fc025e3b035a6f7)
де
та
— зростаючий факторіал.
Алгебричне рівняння степеня p
![{\displaystyle x^{p}-x+z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263baf1196dc4712440ecc294b4f6511fe44f2ae)
можна розв'язати з отриманням ряду
![{\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\infty }{pk \choose k}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ed17e74bc99263031fa21156d79298f169bf8e)
За ознаками збіжності отримаємо радіус збіжності |z| ≤ (p − 1)p−p/(p − 1).
Ряд Бюрмана — Лагранжа визначається як розклад голоморфної функції
за степенями іншої голоморфної функції
і є узагальненням ряду Тейлора.
Нехай
і
голоморфні в околі деякої точки
, причому
і
— простий нуль функції
. Тепер виберемо деяку область
, у якій
і
голоморфні, а
однолиста в
. Тоді має місце розклад вигляду:
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}w^{n}(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0adb48a99d4aee011769d41fbf8d4c881ac92d)
де коефіцієнти
обчислюються за таким виразом:
![{\displaystyle d_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\zeta )w'(\zeta )}{w^{n+1}(\zeta )}}\,d\zeta ={\frac {1}{n!}}\lim _{z\to a}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left\{f'(z){\frac {(z-a)^{n}}{w^{n}(z)}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9df64055db82033c67d9f49a0733ff31be05e1)
Функція
визначається рівнянням:
![{\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ecaffd74acfe6b8a87d4f49f5a0e489cc6add7a)
Застосуємо теорему для отримання ряду Тейлора для
в околі
Приймемо
та
Тоді
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\ \mathrm {e} ^{\alpha \,x}\,=\,\alpha ^{n}\,\mathrm {e} ^{\alpha \,x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0846fa69015c9a7befe2bbd0dedbb5e25ac04f2f)
Отримаємо
![{\displaystyle W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4a5ac04d6cac0f821720b33f79d98824a3dcf3)
Радіус збіжності ряду дорівнює
(для основної гілки функції).
Ряд може збігатись і для деяких більших z. Функція
задовольняє рівняння
![{\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5dfbb66576dca4ab7a2747115fb4ceff32fff7)
Тоді
можна розкласти в ряд застосувавши теорему. Це дасть ряд для
:
![{\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-{\frac {47z^{6}}{1474560}}-{\frac {73z^{7}}{41287680}}+{\frac {2447z^{8}}{1321205760}}+O(z^{9}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64ee634513ee4644238e8b056574b32777ef0a6)
можна обчислити підстановкою
замість z.
Розглянемо набір
нерозмічених двійкових дерев . Елемент
це або лист нульового розміру, або кореневий вузол з двома піддеревами. Позначимо через
кількість двійкових дерев на 'вузлах.
Видалення кореня розбиває двійкове дерево на два дерева меншого розміру. З цього виходить функціональне рівняння на породжувальну функцію
![{\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f35c169590336edfcc75752625715f6064a5ff)
Задаючи
, маємо
Застосовуючи теорему з
отримуємо
![{\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ba46e7a5afc13aa8efe81f91c521b2a342fd73)
Отже
є n-м числом Каталана.
У теоремі Лапласа-Ерделі, яка дає асимптотичне наближення для інтегралів лапласового типу, інверсія функції є важливим кроком.