Число Каталана

Числа Каталана — числова послідовність, що зустрічається в багатьох задачах комбінаторики. Послідовність названа на честь бельгійського математика Каталана, хоча була відома ще Л. Ейлеру.

Перших декілька чисел Каталана:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452 … (послідовність A000108 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Означення

n-те число Каталана $\,\!C_{n}$ можна визначити одним із наступних способів:

Розбиття шестикутника (C₄=14)

• Кількість розбиттів опуклого (n+2)-кутника на трикутники діагоналями, що не перетинаються.

• Кількість правильних дужкових структур довжини 2n.

Наприклад, для n=3 існує 5 таких послідовностей:

((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())

тобто $C_{3}=5$.

• Кількість способів з'єднання 2n точок на колі n хордами, які не перетинаються.

• Кількість неізоморфних упорядкованих бінарних дерев з коренем з n+1 листом.

Властивості

• Числа Каталана задовольняють рекурентному співвідношенню:

$C_{0}=1\,\!$ і $\qquad C_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}C_{i}C_{n-1-i}$ для $n\geq 1.\,\!$

Це співвідношення легко отримати, помітивши, що будь-яка непуста правильна структура однозначно представлена в формі w=(w₁)w₂, де w₁, w₂ — правильні структури.

• Генератриса для чисел Каталана:

$\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}z^{n}={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}$

• Числа Каталана можна виразити через біноміальні коефіцієнти:

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n-1}.$

• Асимптотично $C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}$

Див. також

• Центральний біноміальний коефіцієнт

Посилання

• С. К. Ландо Лекції по комбінаториці, МЦНМО, 1994.
• А. Шень. Программирование: теоремы и задачи^{[недоступне посилання з травня 2019]}, M: МЦНМО, 2004. (разделы 2.6 и 2.7)