Теорема Лебега про щільність

Теорема Лебега про щільність — результат теорії міри, який інтуїтивно можна розуміти так, що множина «граничних точок» вимірної множини має міру нуль.

Твердження

Позначимо через $\lambda$ міру Лебега на евклідовому просторі $\mathbb {R} ^{n}$. Нехай $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ — вимірна множина. Для довільної точки $x\in \mathbb {R} ^{n}$ і $\varepsilon >0$ розглянемо значення

$d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))}}$,

де $B_{\varepsilon }(x)$ позначає кулю з центром в $x$ і радіусом $\varepsilon$. Величину $d_{\varepsilon }(x)$ можна інтерпретувати як приблизна щільність множини $A$ в точці $x$.

тоді

$d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)$

існує і дорівнює 1 для майже кожної точки $x\in A$.

Зауваження

• Величина $d(x)$, якщо визначена, називається щільністю множини $A$ в точці $x$.
• Інакше кажучи, теорема стверджує, що щільність будь-якої вимірної множини $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ приймає значення 0 або 1 майже всюди в $\mathbb {R} ^{n}$.
• Якщо множина і її доповнення мають додатну міру, то завжди знайдуться точки із щільністю не рівною 0 і 1.

Приклади

Наприклад, дано квадрат в площині, щільність в кожній точці всередині квадрата дорівнює 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, і 0 поза квадрата; сторони і вершини квадрата є множинами міри нуль.

Варіації і узагальнення

• Теорема про щільність є окремим випадком теореми Лебега про диференціювання.

Див. також

• Теорема Лебега про диференціювання

Література

• Натансон І. П. Теорія функцій дійсної змінної. — Москва, 1974.
• Cohn, Donald L. (1997) [1980], Measure theory (вид. reprint), Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag, с. IX+373, ISBN 3-7643-3003-1