Теорема Люка
У математиці теоремою Люка́ називають таке твердження про остачу від ділення біноміального коефіцієнта на просте число p:
де і — подання чисел m і n у p-ковій системі числення.
Зокрема, біноміальний коефіцієнт ділиться на просте число p націло тоді й лише тоді, коли хоча б одна p-кова цифра числа n перевищує відповідну цифру числа m.
Теорему вперше вивів 1878 року французький математик Едуард Люка.
Розглянемо коефіцієнт при у многочлені над скінченним полем . З одного боку, він просто дорівнює . З іншого боку, оскільки
то, щоб з останнього добутку отримати коефіцієнт при , потрібно з нульового співмножника взяти коефіцієнт при , з першого — коефіцієнт при , a в загальному випадку з -го співмножника — коефіцієнт при . Прирівнюючи коефіцієнти, отримуємо
- E. Lucas. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques // American Journal of Mathematics : magazine. — 1878. — Vol. 1, no 2 (17 décembre). — P. 184—196. — DOI: . — MR1505161. (part 1);
- E. Lucas. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques // American Journal of Mathematics : magazine. — 1878. — Vol. 1, no 3 (17 décembre). — P. 197—240. — DOI: . — MR1505164. (part 2);
- E. Lucas. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques // American Journal of Mathematics : magazine. — 1878. — Vol. 1, no 4 (17 décembre). — P. 289—321. — DOI: . — MR1505176. (part 3)
- A. Granville. Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I: Binomial coefficients modulo prime powers // Canadian Mathematical Society Conference Proceedings : journal. — 1997. — Vol. 20 (17 December). — P. 253—275. — MR1483922. Архівовано з джерела 2 лютого 2017.