Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел

Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел — теорема, яка встановлює, що алгебричні ірраціональності не можуть занадто добре наближатися раціональними числами. А саме: якщо $\alpha$ — алгебричне число степеня $n>1$ , а $p$ та $q$ — будь-які цілі числа $(q\neq 0)$ , то виконується нерівність

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{n}}}

де $C$ — додатна константа, що залежить тільки від $\alpha$ і виражається в явному вигляді через пов'язані з $\alpha$ величини.

За допомогою цієї теореми Ліувілль побудував перші приклади трансцендентних чисел. Таким числом є, наприклад, число, що подається рядом зі швидко спадними членами, наприклад

\xi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n!}}}.

Узагальнення

При $n=2$ теорема Ліувілля дає непокращуваний результат. Для $n\geq 3$ теорема Ліувілля неодноразово посилювалася.

1909 року Туе встановив, що для алгебричних чисел $\alpha$ степеня $n$ і $\nu >{\frac {n}{2}}+1$ виконується нерівність

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{\nu }}}

(*)

Зігель поліпшив результат Туе, показавши, що остання нерівність виконується при

\nu >\min _{s=\{1,\;2,\;\ldots ,\;n-1\}}\left({\frac {n}{s+1}}+s\right)

, де

s

— ціле, зокрема, при

\nu >2{\sqrt {n}}

. Пізніше Ф. Дайсон довів справедливість цієї нерівності при

\nu >{\sqrt {2n}}

. Нарешті, К. Рот встановив, що нерівність (*) виконується при будь-якому

\nu >2

. Результат К. Рота є найкращим у своєму роді, оскільки будь-яке ірраціональне число

\xi

, алгебричне чи ні, має нескінченно багато раціональних наближень

p/q

, що задовольняють нерівності

\left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}

.

Всі зазначені вище посилення теореми Ліувілля мають один суттєвий недолік — вони неефективні, а саме: методи їх доведення не дозволяють установити, як саме стала $C=C(\alpha ,\;\nu )$ в нерівності залежить від величин $\alpha$ і $\nu$ .

Див. також

Посилання

Michael Filaseta. The Beginning of Numbers Transcendental