Теорема Міттаг-Лефлера

Теорема Міттаг-Лефлера — в комплексному аналізі твердження про властивості мероморфних функцій, що визначає існування мероморфних функцій із заданими полюсами і головними частинами ряду Лорана, а також стверджує для довільних мероморфних функцій існування аналогу розкладу раціональної функції на прості дроби.

Твердження теореми

Нехай задана скінченна або зліченна послідовність різних комплексних чисел $z_{k}$ для яких $|z_{1}|\leqslant |z_{2}|\leqslant ...\leqslant |z_{k}|\leqslant ...$ і $\lim _{k\to \infty }z_{k}=\infty .$ Нехай також задані функції:

$g_{n}(z)=\sum _{i=1}^{p_{n}}{\frac {c_{-i}^{(n)}}{(z-z_{n})^{i}}},$

які можна інтерпретувати як головні частини рядів Лорана деяких мероморфних функцій в точках $z_{k}.$

Тоді існує мероморфна функція $f(z)$ для якої $z_{k}$ є множиною всіх полюсів і головна частина функції $f(z)$ в точці $z_{n}$ є рівною $g_{n}(z).$

Якщо ж деяка мероморфна функція $f(z)$ має своїми полюсами множину $z_{k}$ (з властивостей мероморфних функцій випливає, що ця множина є не більш, ніж зліченною) і головна частина функції $f(z)$ в точці $z_{n}$ є рівною $g_{n}(z),$ то для цієї функції справедливий розклад Міттаг-Лефлера:

$f(z)=h(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right),$

де $h$ — деяка ціла функція, а $P_{n}$ — деякі многочлени і ряд в правій стороні рівності збігається рівномірно на компактних множинах. В даному випадку ряд називається збіжним (рівномірно збіжним) на компактній множині, якщо лише скінченна кількість його доданків має полюси на цій множині і після видалення цих доданків інші збігаються (рівномірно збігаються) на множині.

Доведення

Без обмеження загальності можна вважати, що $z_{1}\neq 0.$ В іншому разі замість функції $f(z)$ можна розглядати функцію $f(z)-g_{1}(z).$

Зафіксуємо дійсне число $0<q<1,$ і позначимо $K_{n}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|<q|z_{n}|\}.$ Оскільки функція $g_{n}(z)$ є голоморфною в крузі $\{|z|<|z_{n}|\}$ і $K_{n}$ є підмножиною цього круга то $g_{n}(z)$ можна рівномірно на в $K_{n}$ наблизити многочленом Тейлора:

$P_{n}(z)=\sum _{i=0}^{m_{n}}{\frac {g_{n}^{(i)}(0)}{k!}}z^{k},$

де степінь многочлена ми виберемо так, щоб для всіх $z\in K_{n}$ було $|g_{n}(z)-P_{n}(z)|<{\frac {1}{2^{n}}}.$

При такому виборі $P_{n}(z)$ розглянемо ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)=f(z)$.

Для довільної компактної множини $K$ існує натуральне число $N,$ таке що $K\subset K_{n},\;\forall n>N.$

Тоді всі члени ряду $\sum _{n=N}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)=f_{N}(z)$ є голоморфними на $K$, і цей ряд мажорується збіжною геометричною прогресією ${\frac {1}{2^{n}}}.$

Отже даний ряд збігається на рівномірно на $K$ і за теоремою Вейєрштраса його сума є голоморфною функцією в $K$.

Функція $f(z)$ відрізняється від $f_{N}(z)$ на раціональну функцію

$\sum _{n=1}^{N-1}\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)$

що має полюси в точках $z_{1}(z),\ldots ,z_{N-1}(z)$ і відповідні головні частини рівні $g_{1}(z),\ldots ,g_{N-1}(z).$

Тобто на множині $K$ функція $f(z)$ має задані полюси і головні частини. Так як $K$ — довільна компактна множина то $f(z)$ — мероморфнамфункція і має в $\mathbb {C}$ задані полюси і головні частини.

Якщо тепер $f(z)$ — довільна мероморфна функція, що немає полюса в нулі (в іншому разі знову ж можна розглядати функцію $f(z)-g_{1}(z)$) то позначивши її полюси так що $|z_{1}|\leqslant |z_{2}|\leqslant ...\leqslant |z_{k}|\leqslant ...$ і побудувавши, як і вище суму ряду $\sum _{n=1}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)=f_{0}(z)$ отримуємо, що різниця $f(z)-f_{0}(z)$ є цілою функцією, що завершує доведення.

Приклади розкладу Міттаг-Лефлера

Нижче подні приклади розкладу Міттаг-Лефлера для деяких мероморфних функцій:

• ${\frac {1}{\sin(z)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2z}{z^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}$

• $\cot(z)\equiv {\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-k^{2}\pi ^{2}}}$

• ${\frac {1}{\sin ^{2}(z)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\pi )^{2}}}$

• ${\frac {1}{z\sin(z)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\pi }}{\frac {2z}{z^{2}-\pi ^{2}n^{2}}}$

Див. також

• Мероморфна функція
• Ряд Лорана
• Теорема Вейєрштраса про цілі функції

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), theorem Mittag-Leffler theorem, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Джерела

• Шабат, Б. В. (1976), Введение в комплексный анализ, ч. I, «Наука»
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X