Теоремою Планшереля у гармонічному аналізі називається твердження про властивості функцій дійсної змінної і їх перетворень Фур'є. Теорема доведена швейцарським математиком Мішелем Планшерелем у 1910 році[1].
Якщо комплекснозначна функція f, визначена на множині дійсних чисел належить просторам
і
, тоді її перетворення Фур'є, яке є комплекснозначною функцією дійсної змінної, що визначається як:
![{\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059efc957a25d53e30f6a01edf79f71d713df936)
теж є функцією із
. До того ж виконується формула Планшереля — Персеваля:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de869f654d601d8ae80b713f834860238229d4fb)
де
є двома функціями, що задовольняють вказані умови, а
— їх перетвореннями Фур'є.
Зокрема:
.
Одержані таким чином функції
утворюють щільну підмножину у
і відображення
із простору функцій
можна продовжити до унітарного оператора на просторі
.
У випадку коли
належать деякому хорошому класу функцій, наприклад є функціями Шварца, можна дати просте доведення формули за допомогою оберненого перетворення Фур'є. У цьому випадку
і з властивостей комплексного спряження також
Тоді
- ↑ Plancherel, Michel (1910), Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 30 (1): 289—335, doi:10.1007/BF03014877.