Теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта — твердження у математиці, що описує структуру універсальних обгортуючих алгебр і є одним із фундаментальних результатів теорії алгебр Лі і їх представлень .
Нехай
T
(
g
)
,
U
(
g
)
,
S
(
g
)
{\displaystyle T({\mathfrak {g}}),U({\mathfrak {g}}),S({\mathfrak {g}})}
тензорну алгебру , універсальну обгортуючу алгебру і симетричну алгебру для алгебри Лі
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
полем K . Для тензорної алгебри можна ввести фільтрацію
T
m
g
=
K
⊕
g
⊕
T
2
g
⊕
⋯
⊕
T
m
g
{\displaystyle T_{m}{\mathfrak {g}}=K\oplus {\mathfrak {g}}\oplus T^{2}{\mathfrak {g}}\oplus \cdots \oplus T^{m}{\mathfrak {g}}}
де
T
m
g
=
T
⊗
m
g
=
g
⊗
⋯
⊗
g
{\displaystyle T^{m}{\mathfrak {g}}=T^{\otimes m}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}\otimes \cdots \otimes {\mathfrak {g}}}
Для універсальної обгортуючої і симетричної алгебри теж при цьому отримуються фільтрації, якщо взяти відповідні факторизації зокрема
U
m
(
g
)
=
π
(
T
m
)
{\displaystyle U_{m}({\mathfrak {g}})=\pi (T_{m})}
S
m
(
g
)
=
p
(
T
m
)
,
{\displaystyle S_{m}({\mathfrak {g}})=p(T_{m}),}
π
,
p
{\displaystyle \pi ,p}
Тоді можна ввести нові простори:
G
m
(
g
)
=
U
m
(
g
)
/
U
m
−
1
(
g
)
{\displaystyle G_{m}({\mathfrak {g}})=U_{m}({\mathfrak {g}})/U_{m-1}({\mathfrak {g}})}
і
G
(
g
)
=
G
0
(
g
)
⊕
G
1
(
g
)
⊕
G
2
(
g
)
…
{\displaystyle G({\mathfrak {g}})=G_{0}({\mathfrak {g}})\oplus G_{1}({\mathfrak {g}})\oplus G_{2}({\mathfrak {g}})\ldots }
Позначаючи
ψ
:
U
(
g
)
→
G
(
g
)
{\displaystyle \psi :U({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})}
відображення
ψ
∘
π
:
T
(
g
)
→
G
(
g
)
.
{\displaystyle \psi \circ \pi :T({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}}).}
образ для всіх елементів виду
a
⊗
b
−
b
⊗
a
,
a
,
b
∈
g
{\displaystyle a\otimes b-b\otimes a,\;\;a,b\in {\mathfrak {g}}}
ψ
∘
π
{\displaystyle \psi \circ \pi }
ϕ
:
S
(
g
)
→
G
(
g
)
.
{\displaystyle \phi :S({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}}).}
Теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта : відображення
ϕ
{\displaystyle \phi }
S
(
g
)
{\displaystyle S({\mathfrak {g}})}
G
(
g
)
.
{\displaystyle G({\mathfrak {g}}).}
Нехай
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
K
{\displaystyle K}
x
α
{\displaystyle x_{\alpha }}
базис як векторного простору, тобто індекси
α
∈
I
{\displaystyle \alpha \in I}
I
{\displaystyle I}
цілком впорядкованою .
Якщо
i
:
g
→
U
(
g
)
{\displaystyle i:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1
{\displaystyle 1}
i
(
x
α
1
)
⋅
…
⋅
i
(
x
α
s
)
(
s
⩾
1
,
α
1
⩽
.
.
.
⩽
α
s
)
{\displaystyle i(x_{\alpha _{1}})\cdot \ldots \cdot i(x_{\alpha _{s}})(s\geqslant 1,\alpha _{1}\leqslant ...\leqslant \alpha _{s})}
U
{\displaystyle U}
i
{\displaystyle i}
ін'єктивним .
Нехай
x
α
,
α
∈
I
{\displaystyle x_{\alpha },\;\alpha \in I}
g
.
{\displaystyle {\mathfrak {g}}.}
S
(
g
)
{\displaystyle S({\mathfrak {g}})}
алгеброю многочленів від змінних
x
α
,
α
∈
I
.
{\displaystyle x_{\alpha },\;\alpha \in I.}
Σ
=
(
α
1
,
.
.
.
,
α
m
)
{\displaystyle \Sigma =(\alpha _{1},...,\alpha _{m})}
z
Σ
=
z
α
1
,
.
.
.
,
z
α
m
∈
S
(
g
)
{\displaystyle z_{\Sigma }=z_{\alpha _{1}},...,z_{\alpha _{m}}\in S({\mathfrak {g}})}
x
Σ
=
x
α
1
⊗
.
.
.
⊗
x
α
m
∈
T
(
g
)
.
{\displaystyle x_{\Sigma }=x_{\alpha _{1}}\otimes ...\otimes x_{\alpha _{m}}\in T({\mathfrak {g}}).}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
α
1
⩽
.
.
.
⩽
α
m
.
{\displaystyle \alpha _{1}\leqslant ...\leqslant \alpha _{m}.}
z
∅
=
1.
{\displaystyle z_{\emptyset }=1.}
z
Σ
{\displaystyle z_{\Sigma }}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
S
(
g
)
.
{\displaystyle S({\mathfrak {g}}).}
α
⩽
Σ
{\displaystyle \alpha \leqslant \Sigma }
α
⩽
μ
{\displaystyle \alpha \leqslant \mu }
μ
∈
Σ
.
{\displaystyle \mu \in \Sigma .}
J
{\displaystyle J}
T
(
g
)
{\displaystyle T({\mathfrak {g}})}
a
⊗
b
−
b
⊗
a
,
a
,
b
∈
g
{\displaystyle a\otimes b-b\otimes a,\;\;a,b\in {\mathfrak {g}}}
S
(
g
)
=
T
(
g
)
/
J
{\displaystyle S({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/J}
Для кожного
m
∈
Z
+
{\displaystyle m\in Z^{+}}
лінійне відображення
f
m
:
g
⊗
S
m
→
S
(
g
)
,
{\displaystyle f_{m}:{\mathfrak {g}}\otimes S_{m}\to S({\mathfrak {g}}),}
(
A
m
)
f
m
(
x
α
⊗
z
Σ
)
=
z
α
z
Σ
{\displaystyle (A_{m})\quad f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma })=z_{\alpha }z_{\Sigma }}
α
⩽
Σ
,
z
Σ
∈
S
m
;
{\displaystyle \alpha \leqslant \Sigma ,\;z_{\Sigma }\in S_{m};}
(
B
m
)
f
m
(
x
α
⊗
z
Σ
)
−
z
α
z
Σ
∈
S
k
{\displaystyle (B_{m})\quad f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma })-z_{\alpha }z_{\Sigma }\in S_{k}}
k
⩽
m
,
z
Σ
∈
S
k
;
{\displaystyle k\leqslant m,\;z_{\Sigma }\in S_{k};}
(
C
m
)
f
m
(
x
α
⊗
f
m
(
x
μ
⊗
z
T
)
)
=
f
m
(
x
μ
⊗
f
m
(
x
α
⊗
z
T
)
)
+
f
m
(
[
x
α
,
x
μ
]
⊗
z
T
)
{\displaystyle (C_{m})\quad f_{m}(x_{\alpha }\otimes f_{m}(x_{\mu }\otimes z_{T}))=f_{m}(x_{\mu }\otimes f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{T}))+f_{m}([x_{\alpha },x_{\mu }]\otimes z_{T})}
z
T
∈
S
m
−
1
.
{\displaystyle z_{T}\in S_{m-1}.}
При цьому обмеження відображення
f
m
{\displaystyle f_{m}}
g
⊗
S
m
−
1
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes S_{m-1}}
f
m
−
1
.
{\displaystyle f_{m-1}.}
Обмеження відображення
f
m
{\displaystyle f_{m}}
g
⊗
S
m
−
1
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes S_{m-1}}
(
A
m
)
,
(
B
m
)
,
(
C
m
)
{\displaystyle (A_{m}),(B_{m}),(C_{m})}
f
m
−
1
.
{\displaystyle f_{m-1}.}
Існування і єдиність відображення
f
m
{\displaystyle f_{m}}
індукцією по m . При m = 0 маємо
z
Σ
=
1
{\displaystyle z_{\Sigma }=1}
f
0
(
x
α
⊗
1
)
=
z
α
{\displaystyle f_{0}(x_{\alpha }\otimes 1)=z_{\alpha }}
g
⊗
S
0
.
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes S_{0}.}
(
A
0
)
,
(
B
0
)
,
(
C
0
)
{\displaystyle (A_{0}),(B_{0}),(C_{0})}
(
A
0
)
{\displaystyle (A_{0})}
f
0
{\displaystyle f_{0}}
Припустивши існування єдиного відображення
f
m
−
1
,
{\displaystyle f_{m-1},}
f
m
−
1
{\displaystyle f_{m-1}}
f
m
.
{\displaystyle f_{m}.}
f
m
(
x
α
⊗
z
Σ
)
{\displaystyle f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma })}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
m . У випадку
α
⩽
Σ
{\displaystyle \alpha \leqslant \Sigma }
(
A
m
)
{\displaystyle (A_{m})}
f
m
(
x
α
⊗
z
Σ
)
=
z
α
z
Σ
.
{\displaystyle f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma })=z_{\alpha }z_{\Sigma }.}
нерівність не виконується, то перший індекс
μ
{\displaystyle \mu }
Σ
{\displaystyle \Sigma }
α
,
{\displaystyle \alpha ,}
Σ
=
(
μ
,
T
)
,
{\displaystyle \Sigma =(\mu ,T),}
μ
⩽
T
{\displaystyle \mu \leqslant T}
Т має довжину m -1. З умови
(
A
m
−
1
)
{\displaystyle (A_{m-1})}
z
Σ
=
z
μ
z
T
=
f
m
−
1
(
x
μ
⊗
z
T
)
.
{\displaystyle z_{\Sigma }=z_{\mu }z_{T}=f_{m-1}(x_{\mu }\otimes z_{T}).}
μ
⩽
T
,
{\displaystyle \mu \leqslant T,}
f
m
(
x
μ
⊗
z
T
)
=
z
μ
z
T
,
{\displaystyle f_{m}(x_{\mu }\otimes z_{T})=z_{\mu }z_{T},}
(
C
m
)
{\displaystyle (C_{m})}
f
m
(
x
α
⊗
z
Σ
)
.
{\displaystyle f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma }).}
(
B
m
−
1
)
{\displaystyle (B_{m-1})}
f
m
(
x
α
⊗
z
T
)
=
f
m
−
1
(
x
α
⊗
z
T
)
≡
z
α
z
T
mod
S
m
−
1
.
{\displaystyle f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{T})=f_{m-1}(x_{\alpha }\otimes z_{T})\equiv z_{\alpha }z_{T}\mod S_{m-1}.}
(
C
m
)
{\displaystyle (C_{m})}
z
μ
z
α
z
T
+
f
m
−
1
(
x
μ
⊗
y
)
+
f
m
−
1
(
[
x
α
,
x
μ
]
⊗
z
T
)
,
y
∈
S
m
−
1
.
{\displaystyle z_{\mu }z_{\alpha }z_{T}+f_{m-1}(x_{\mu }\otimes y)+f_{m-1}([x_{\alpha },x_{\mu }]\otimes z_{T}),\;\;y\in S_{m-1}.}
Попередні зауваження показують, що відображення
f
m
{\displaystyle f_{m}}
(
A
m
)
{\displaystyle (A_{m})}
(
B
m
)
{\displaystyle (B_{m})}
(
C
m
)
{\displaystyle (C_{m})}
μ
<
α
,
μ
⩽
T
.
{\displaystyle \mu <\alpha ,\;\mu \leqslant T.}
[
x
μ
,
x
α
]
=
−
[
x
α
,
x
μ
]
,
{\displaystyle [x_{\mu },x_{\alpha }]=-[x_{\alpha },x_{\mu }],}
(
C
m
)
{\displaystyle (C_{m})}
α
<
μ
,
α
⩽
T
.
{\displaystyle \alpha <\mu ,\;\alpha \leqslant T.}
α
=
μ
.
{\displaystyle \alpha =\mu .}
Залишається розглянути випадок, коли умови
α
⩽
T
{\displaystyle \alpha \leqslant T}
μ
⩽
T
{\displaystyle \mu \leqslant T}
T
=
(
ν
,
Ψ
)
,
{\displaystyle T=(\nu ,\Psi ),}
ν
⩽
Ψ
,
ν
<
α
,
ν
<
μ
.
{\displaystyle \nu \leqslant \Psi ,\;\nu <\alpha ,\nu <\mu .}
xz позначає
f
m
(
x
⊗
z
)
.
{\displaystyle f_{m}(x\otimes z).}
x
μ
z
T
=
x
μ
(
x
ν
z
Ψ
)
=
x
ν
(
x
μ
z
Ψ
)
+
[
x
μ
,
x
ν
]
z
Ψ
,
{\displaystyle x_{\mu }z_{T}=x_{\mu }(x_{\nu }z_{\Psi })=x_{\nu }(x_{\mu }z_{\Psi })+[x_{\mu },x_{\nu }]z_{\Psi },}
x
μ
z
Ψ
=
z
μ
z
Ψ
+
w
(
w
∈
S
m
−
2
)
{\displaystyle x_{\mu }z_{\Psi }=z_{\mu }z_{\Psi }+w\;(w\in S_{m-2})}
(
B
m
−
2
)
.
{\displaystyle (B_{m-2}).}
ν
⩽
Ψ
,
ν
<
μ
,
{\displaystyle \nu \leqslant \Psi ,\;\nu <\mu ,}
(
C
m
)
{\displaystyle (C_{m})}
x
α
(
x
ν
(
z
μ
z
Ψ
)
)
.
{\displaystyle x_{\alpha }(x_{\nu }(z_{\mu }z_{\Psi })).}
(
C
m
)
{\displaystyle (C_{m})}
x
α
(
x
ν
w
)
,
{\displaystyle x_{\alpha }(x_{\nu }w),}
x
α
(
x
n
u
(
x
μ
z
Ψ
)
)
.
{\displaystyle x_{\alpha }(x_{n}u(x_{\mu }z_{\Psi })).}
x
α
(
x
m
u
T
)
=
x
ν
(
x
α
(
x
μ
z
Ψ
)
)
+
[
x
α
,
x
ν
]
(
x
μ
z
Ψ
)
+
[
x
μ
,
x
ν
]
(
x
α
z
Ψ
)
+
[
x
α
,
[
x
μ
,
x
ν
]
]
z
Ψ
.
{\displaystyle x_{\alpha }(x_{m}uT)=x_{\nu }(x_{\alpha }(x_{\mu }z_{\Psi }))+[x_{\alpha },x_{\nu }](x_{\mu }z_{\Psi })+[x_{\mu },x_{\nu }](x_{\alpha }z_{\Psi })+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\Psi }.}
В усіх цих міркуваннях
α
{\displaystyle \alpha }
μ
{\displaystyle \mu }
x
α
(
x
m
z
T
)
−
x
μ
(
x
α
z
T
)
=
x
ν
(
x
α
(
x
μ
z
Ψ
)
)
−
x
ν
(
x
μ
(
x
α
z
Ψ
)
)
+
[
x
α
,
[
x
μ
,
x
ν
]
]
z
Ψ
−
[
x
μ
,
[
x
α
,
x
ν
]
]
z
Ψ
=
x
ν
(
[
x
α
,
x
μ
]
z
Ψ
)
+
[
x
α
,
[
x
μ
,
x
ν
]
]
z
Ψ
+
[
x
μ
,
[
x
μ
,
x
α
]
]
z
Ψ
=
[
x
α
,
x
μ
]
(
x
ν
z
Ψ
)
+
(
[
x
μ
,
[
x
α
,
x
ν
]
]
+
[
x
α
,
[
x
μ
,
x
ν
]
]
+
[
x
μ
,
[
x
μ
,
x
α
]
]
)
z
Ψ
=
[
x
α
,
x
μ
]
(
z
T
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{\alpha }(x_{m}z_{T})-x_{\mu }(x_{\alpha }z_{T})=&x_{\nu }(x_{\alpha }(x_{\mu }z_{\Psi }))-x_{\nu }(x_{\mu }(x_{\alpha }z_{\Psi }))+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\Psi }-[x_{\mu },[x_{\alpha },x_{\nu }]]z_{\Psi }=\\&x_{\nu }([x_{\alpha },x_{\mu }]z_{\Psi })+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\Psi }+[x_{\mu },[x_{\mu },x_{\alpha }]]z_{\Psi }=\\&[x_{\alpha },x_{\mu }](x_{\nu }z_{\Psi })+([x_{\mu },[x_{\alpha },x_{\nu }]]+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]+[x_{\mu },[x_{\mu },x_{\alpha }]])z_{\Psi }=\\&[x_{\alpha },x_{\mu }](z_{T})\end{aligned}}}
Цим доведено співвідношення
(
C
m
)
,
{\displaystyle (C_{m}),}
Існує представлення
ρ
:
g
→
g
l
(
S
(
g
)
)
,
{\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(S({\mathfrak {g}})),}
ρ
(
x
α
)
z
Σ
=
z
α
z
Σ
,
α
⩽
Σ
;
{\displaystyle \rho (x_{\alpha })z_{\Sigma }=z_{\alpha }z_{\Sigma },\;\alpha \leqslant \Sigma ;}
ρ
(
x
α
)
z
Σ
≡
z
α
z
Σ
mod
S
m
,
{\displaystyle \rho (x_{\alpha })z_{\Sigma }\equiv z_{\alpha }z_{\Sigma }\mod S_{m},}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
m .Згідно попередньої леми існує лінійне відображення
f
:
g
⊗
S
(
g
)
→
S
(
g
)
,
{\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\otimes S({\mathfrak {g}})\to S({\mathfrak {g}}),}
(
A
m
)
,
(
B
m
)
,
(
C
m
)
{\displaystyle (A_{m}),(B_{m}),(C_{m})}
m . Іншими словами,
S
(
g
)
{\displaystyle S({\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
(
C
m
)
{\displaystyle (C_{m})}
(
A
m
)
,
(
B
m
)
{\displaystyle (A_{m}),(B_{m})}
Нехай
t
∈
T
m
∩
Ker
π
.
{\displaystyle t\in T_{m}\cap \operatorname {Ker} \pi .}
t
m
{\displaystyle t_{m}}
m
{\displaystyle m}
t
{\displaystyle t}
J .
Запишемо
t
m
{\displaystyle t_{m}}
лінійну комбінацію базисних елементів
x
Σ
(
i
)
,
(
1
⩽
i
⩽
r
)
{\displaystyle x_{\Sigma (i)},\;(1\leqslant i\leqslant r)}
Σ
(
i
)
{\displaystyle \Sigma (i)}
m . Гомоморфізм алгебр Лі
ρ
:
g
→
g
l
(
S
(
g
)
)
,
{\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(S({\mathfrak {g}})),}
U
(
g
)
{\displaystyle U({\mathfrak {g}})}
ρ
:
T
(
g
)
→
End
(
S
(
g
)
)
,
{\displaystyle \rho :T({\mathfrak {g}})\to \operatorname {End} (S({\mathfrak {g}})),}
Ker
π
⊂
Ker
ρ
.
{\displaystyle \operatorname {Ker} \pi \subset \operatorname {Ker} \rho .}
ρ
(
t
)
=
0.
{\displaystyle \rho (t)=0.}
ρ
(
t
)
{\displaystyle \rho (t)}
x
Σ
(
i
)
,
(
1
⩽
i
⩽
r
)
.
{\displaystyle x_{\Sigma (i)},\;(1\leqslant i\leqslant r).}
S
(
g
)
{\displaystyle S({\mathfrak {g}})}
t
m
∈
J
,
{\displaystyle t_{m}\in J,}
Відображення
π
{\displaystyle \pi }
π
(
T
m
∖
T
m
−
1
)
=
U
m
∖
U
m
−
1
.
{\displaystyle \pi (T_{m}\setminus T_{m-1})=U_{m}\setminus U_{m-1}.}
ψ
∘
π
:
T
(
g
)
→
G
(
g
)
{\displaystyle \psi \circ \pi :T({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})}
ϕ
:
S
(
g
)
→
G
(
g
)
{\displaystyle \phi :S({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})}
Доведемо тепер ін'єктивність. Нехай
t
∈
T
m
.
{\displaystyle t\in T^{m}.}
π
(
t
)
∈
U
m
−
1
{\displaystyle \pi (t)\in U_{m-1}}
t
∈
Ker
π
.
{\displaystyle t\in \operatorname {Ker} \pi .}
t
∈
T
m
,
π
(
t
)
∈
U
m
−
1
,
{\displaystyle t\in T^{m},\pi (t)\in U_{m-1},}
π
(
t
)
=
π
(
t
′
)
{\displaystyle \pi (t)=\pi (t')}
t
′
∈
T
m
−
1
{\displaystyle t'\in T_{m-1}}
t
−
t
′
∈
Ker
π
.
{\displaystyle t-t'\in \operatorname {Ker} \pi .}
t
−
t
′
∈
T
m
∩
Ker
π
:
{\displaystyle t-t'\in T_{m}\cap \operatorname {Ker} \pi :}
m є рівною
t
{\displaystyle t}
t
∈
J
.
{\displaystyle t\in J.}
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
Carter, R. (2005), Lie Algebras of Finite and Affine Type , Cambridge University Press, ISBN 0-521-85138-6 Winter, David J. (1972), Abstract Lie algebras ISBN 978-0-486-46282-0 MR 0332905 
![{\displaystyle (C_{m})\quad f_{m}(x_{\alpha }\otimes f_{m}(x_{\mu }\otimes z_{T}))=f_{m}(x_{\mu }\otimes f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{T}))+f_{m}([x_{\alpha },x_{\mu }]\otimes z_{T})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb3e66d374b79a9da3deb60f9d905a4ac4d7e24)
![{\displaystyle z_{\mu }z_{\alpha }z_{T}+f_{m-1}(x_{\mu }\otimes y)+f_{m-1}([x_{\alpha },x_{\mu }]\otimes z_{T}),\;\;y\in S_{m-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd6d582f036d5b5463fc84d0e25a914de7ba32c)
![{\displaystyle [x_{\mu },x_{\alpha }]=-[x_{\alpha },x_{\mu }],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04659ef8583cd3fd7bfe12926bd264d8ed1046f)
![{\displaystyle x_{\mu }z_{T}=x_{\mu }(x_{\nu }z_{\Psi })=x_{\nu }(x_{\mu }z_{\Psi })+[x_{\mu },x_{\nu }]z_{\Psi },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a75deae502d00c1e2ad861d4cd7fb789e34cb12)
+[x_{\mu },x_{\nu }](x_{\alpha }z_{\Psi })+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\Psi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd871ce2cf4dca0d11c75b77b5010f40dbc19199)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{\alpha }(x_{m}z_{T})-x_{\mu }(x_{\alpha }z_{T})=&x_{\nu }(x_{\alpha }(x_{\mu }z_{\Psi }))-x_{\nu }(x_{\mu }(x_{\alpha }z_{\Psi }))+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\Psi }-[x_{\mu },[x_{\alpha },x_{\nu }]]z_{\Psi }=\\&x_{\nu }([x_{\alpha },x_{\mu }]z_{\Psi })+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\Psi }+[x_{\mu },[x_{\mu },x_{\alpha }]]z_{\Psi }=\\&[x_{\alpha },x_{\mu }](x_{\nu }z_{\Psi })+([x_{\mu },[x_{\alpha },x_{\nu }]]+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]+[x_{\mu },[x_{\mu },x_{\alpha }]])z_{\Psi }=\\&[x_{\alpha },x_{\mu }](z_{T})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5529f67ee8aa72f22def94fe32f6ae8bebdc62f)
