Перейти до вмісту

Теорема Ріба про стійкість

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Теорема Ріба про стійкість стверджує, що якщо шарування корозмірності один має замкнутий шар із скінченною фундаментальною групою, то всі його шари замкнуті і мають скінченну фундаментальну групу. Доведена французьким математиком Жоржем Рібом.

Теорема Ріба про стійкість

[ред. | ред. код]

Теорема[1]: Нехай гладке (класа ) шарування корозмірності на многовиді і компактний шар із скінченною групою голономії. Тоді всякий трубчастий окіл шару містить менший окіл , що складається з цілих шарів шарування (т.з. насичений окіл), всі шари якого є компактними і мають кінцеву групу голономіі. Більш того, визначена ретракція такая, что для каждого слоя , отображение є скінченнолистним накриттям и для каждой точки , прообраз гомеоморфен диску і трансверсален шарам .

Зокрема, якщо шар однозв'язний, то він має насичений окіл, шарування у якому дифеоморфно шаруванню добутку .

Теорема також може бути сформульована для некомпактного шару.[2][3]

Теорема Ріба про глобальної стабільності

[ред. | ред. код]

У теорії шарувань вельми цікавим є питання про те, як наявність у шарування компактного шару впливає на глобальну структуру шарування. Для деяких класів шарувань ця задача має розв'язок.

Теорема[1]: Нехай гладке (класа ) шарування корозмірності 1 на замкнутоу многовиді . Якщо має компактний шар із скінченною фундаментальною групою, то всі шари також є компактними і мають скінченну фундаментальну групу. Якщо шарування трансверсально орієнтовано, то кожен шар дифеоморфен ; при цьому многовид є тотальным пространством расслоения над колом із шаром .

Ця теорема вірна також і для многовиду з краєм, за умови, що шарування дотикаєтьсядо деяких компонент границі, а іншим трансверсально.[4]. У цьому випадку, з неї випливає теорема Ріба про сферу.

Теорема Ріба про глобальну стабільність невірна для слоїнь коразмірності більшої за одиницю[5]. Одначе, для деяких спеціальних класів слоїнь справедливі аналогічні результати:

  • При наличии специальной трансверсальной структуры: Теорема[6]: Нехай повне конформне шарування корозмірності на зв'язному многовиді . Якщо має компактний шар із скінченною групою голономії, то всі шари є компактними і мають скінченну групу голономії.
  • Для голоморфних шарувань на келерових многовидах: Теорема[7]: Нехай голоморфне шарування корозмірності на компактному комплексному келеровому многовиді. Якщо має компактний шар із скінченною групою голономії, то всі шари є компактними та мають скінченну групу голономії.

Література

[ред. | ред. код]
  • И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
  • Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151—213 [5]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. а б G. Reeb, G. Reeb (1952). Sur certaines propriétés toplogiques des variétés feuillétées. Actualités Sci. Indust. Т. 1183. Paris: Hermann.
  2. T.Inaba, Reeb stability of noncompact leaves of foliations,— Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 59:158{160, 1983[1]
  3. J. Cantwell and L. Conlon, Reeb stability for noncompact leaves in foliated 3-manifolds, — Proc. Amer.Math.Soc. 33 (1981), no. 2, 408—410.[2] [Архівовано 21 жовтня 2012 у Wayback Machine.]
  4. C. Godbillon, Feuilletages, etudies geometriques, — Basel, Birkhauser, 1991
  5. W.T.Wu and G.Reeb, Sur les éspaces fibres et les variétés feuillitées, — Hermann, 1952.
  6. R.A. Blumenthal, Stability theorems for conformal foliations, — Proc. AMS. 91, 1984, p. 55- 63. [3] [Архівовано 21 жовтня 2012 у Wayback Machine.]
  7. J.V. Pereira, Global stability for holomorphic foliations on Kaehler manifolds, — Qual. Theory Dyn. Syst. 2 (2001), 381—384. [4]