Теорема Фалеса про пропорційні відрізки

Теорема Фалеса — одна із теорем планіметрії. У математичній літературі країн колишнього Радянського Союзу відома як теорема Фалеса та узагальнена теорема Фалеса (теорема про пропорційні відрізки).

У європейській літературі теоремою Фалеса найчастіше називають іншу теорему.

Історія

Теорема Фалеса належить давньогрецькому математику і філософу Фалесу Мілетському. За легендою, Фалес Мілетський знаходив висоту піраміди Хеопса, вимірюючи довжину її тіні на землі та довжину тіні палиці, вимірюваної висоти. Найперше письмове доведення цієї теореми подано в книзі «Начала» (книга VI).

Формулювання

Теорема Фалеса: якщо паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі а і b, відтинають на одній прямій рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій прямій.

A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3},

то

B_{1}B_{2}=B_{2}B_{3}.

Узагальнена теорема Фалеса: паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі а і b, відтинають на них пропорційні відрізки.

{\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.

Доведення теореми Фалеса

Нехай дано паралельні прямі $A_{1}B_{1}\parallel$ $A_{2}B_{2}\parallel$ $A_{3}B_{3}$ , які перетинають прямі $a$ і $b$ , причому $A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}$ (дивитись праворуч Малюнок 1).

Через точки $A_{1}$ і $A_{2}$ проведено прямі $A_{1}M$ і $A_{2}K$ , паралельні прямій $b$ .

$\vartriangle A_{1}A_{2}M=\vartriangle A_{2}A_{3}K$ за другою ознакою рівності трикутників, оскільки:

1) $A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}$ — за умовою,

2) $\angle A_{1}A_{2}M=\angle A_{2}A_{3}K$ — відповідні кути при паралельних прямих $MA_{2}$ і $KA_{3}$ ,

3) $\angle A_{2}A_{1}M=\angle A_{3}A_{2}K$ — відповідні кути при паралельних прямих $A_{1}M$ і $A_{2}K$ .

З рівності трикутників $\vartriangle A_{1}A_{2}M=\vartriangle A_{2}A_{3}K$ $\Rightarrow$ $A_{1}M$ = $A_{2}K$ , як відповідні сторони рівних трикутників.

З побудови (Малюнок 1) чотирикутник $A_{1}B_{1}B_{2}M$ — паралелограм, тому $A_{1}M=B_{1}B_{2}$ .

З побудови (Малюнок 1) чотирикутник $A_{2}B_{2}B_{3}K$ — паралелограм, тому $A_{2}K=B_{2}B_{3}$ .

Звідси $A_{1}M=A_{2}K$ і $B_{1}B_{2}=B_{2}B_{3}$ .

Доведення узагальненої теореми Фалеса

Нехай прямі $a$ і $b$ перетинають паралельні прямі у точках $A_{1},A_{2},A_{3}$ і $B_{1},B_{2},B_{3}$ відповідно (дивитись праворуч Малюнок 2).

Доведемо, що ${\frac {A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{B_{1}B_{3}}}$ для випадку, коли існує відрізок такої довжини $\delta$ , який можна відкласти ціле число разів на відрізку $A_{1}A_{3}$ і $A_{1}A_{2}$ . Нехай $A_{1}A_{3}=n\delta$ , $A_{1}A_{2}=m\delta$ і $n>m$ . Поділимо відрізок $A_{1}A_{3}$ на $n$ рівних частин (довжиною $\delta$ ), точка $A_{2}$ - одна з точок поділу. Через точки поділу проведемо прямі, паралельні $A_{3}B_{3}$ . За теоремою Фалеса ці прямі ділять відрізок $B_{1}B_{3}$ на рівні відрізки деякої довжини $\delta _{1}$ . Отримаємо: $B_{1}B_{3}=n\delta _{1}$ , $B_{1}B_{2}=m\delta _{1}$ , ${\frac {A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3}}}={\frac {m\delta }{n\delta }}={\frac {m}{n}}$ і ${\frac {B_{1}B_{2}}{B_{1}B_{3}}}={\frac {m\delta _{1}}{n\delta _{1}}}={\frac {m}{n}}$ $\Longrightarrow$ ${\frac {A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{B_{1}B_{3}}}$ .