Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Теорема Філіпса — є узагальненням теореми Гамільтона — Келі .
Для заданих квадратних матриць
A
0
,
…
,
A
m
{\displaystyle A_{0},\dots ,A_{m}}
n
{\displaystyle n}
g
(
ξ
0
,
…
,
ξ
m
)
=
|
A
0
ξ
0
+
⋯
+
A
m
ξ
m
|
{\displaystyle g(\xi _{0},\dots ,\xi _{m})=|A_{0}\xi _{0}+\dots +A_{m}\xi _{m}|}
X
0
,
…
,
X
m
{\displaystyle X_{0},\dots ,X_{m}}
n
{\displaystyle n}
A
0
X
0
+
⋯
+
A
m
X
m
=
0
{\displaystyle A_{0}X_{0}+\dots +A_{m}X_{m}=0}
g
(
X
0
,
…
,
X
m
)
=
0
{\displaystyle g(X_{0},\dots ,X_{m})=0}
Доведення теореми аналогічне доведенню теореми Гамільтона — Келі. Потрібно використати союзну матрицю до матриці многочленів
A
(
ξ
0
,
…
,
ξ
m
)
=
A
0
ξ
0
+
⋯
+
A
m
ξ
m
{\displaystyle A(\xi _{0},\dots ,\xi _{m})=A_{0}\xi _{0}+\dots +A_{m}\xi _{m}}
Як матриці
X
0
,
…
,
X
m
{\displaystyle X_{0},\dots ,X_{m}}
X
m
,
X
m
−
1
,
…
,
X
,
I
{\displaystyle X^{m},X^{m-1},\dots ,X,I}
X
{\displaystyle X}
A
0
X
m
+
A
1
X
m
−
1
+
⋯
+
A
m
−
1
X
+
A
m
=
0
{\displaystyle A_{0}X^{m}+A_{1}X^{m-1}+\dots +A_{m-1}X+A_{m}=0}
