Нехай це нормальна підгрупа і нехай буде підгрупою , що містить Тоді відображення
- підгрупи що містять підгрупи — бієкція.
Також, це нормальна підгрупа тоді й лише тоді, якщо це нормальна підгрупа
Спочатку доведемо, що — це бієкція.
- Ін'єктивність. Якщо , тоді класи суміжності обох підгруп однакові, тобто для будь-якого ми маємо для певного з чого випливає, що , отже що доводить, що Проводячи такий самий аргумент у зворотному напрямку маємо, що
- Сюр'єктивність. Нехай буде підгрупою і нехай буде канонічною проєкцією. Тоді,
- Це підгрупа що містить і
Залишилось довести, що Припустимо, що Для кожного нам потрібно показати, що
Тепер для будь-якого маємо
і це все, що нам треба.
У зворотному напрямку, припустимо, що Розглянемо гомоморфізм
який є композицією канонічної проєкції і канонічної проєкції на (остання можлива оскільки Зараз ми хочемо показати, що це ядро цього відображення, що завершить доведення, оскільки ядро гомоморфізма є нормальним.
Елемент належить ядру тоді й лише тоді, коли тобто тоді й лише тоді, коли або ж для деякого Оскільки міститься в це значить, що також міститься в а значить і що ми й хотіли довести.
Якщо це двосторонній ідеал кільця тоді канонічне відображення
встановлює відповідність один-до-одного між
- множиною підкілець що містять і множиною підкілець
- множиною ідеалів що містять і множиною всіх ідеалів