Теорема про частку
Теорема про частку — твердження про те, що якщо результат множення вектора на величину з довільним числом верхніх і нижніх індексів є тензором для будь-якого вектора, то величина з верхніми і нижніми індексами є тензором.
Нехай величина така, що для будь-якого вектора величина є тензором. У цьому випадку величина є тензором.
Розглянемо перетворення від старої криволінійної системи координат, де вектор має координати до нової системи координат, де цей же вектор має координати . Домовимося позначати . Позначимо величину . За умовою, є тензор, тому . Тоді . Так як є вектором, за правилами перетворення векторів маємо: . Таким чином: Ця рівність має бути вірнрю для всіх , отже . Величина є тензором. Доведення неважко узагальнити на будь-яке число верхніх і нижніх індексів[1].
- ↑ Дирак, 1978, с. 14.
- Дирак П.А.М. Общая теория относительности. — М. : Атомиздат, 1978. — 64 с.
- Quotient Rule // Essential Mathematical Methods for Physicists
- Quotient Rule // Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics
- Quotient Rule // Mathematics for Physical Science and Engineering
На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії. Будь ласка розставте посилання відповідно до прийнятих рекомендацій. |