Теорема Ґронвала про площу

Теорема Ґронвала про площу — твердження у комплексному аналізі про властивості функцій, що є голоморфними і однолистими на доповненні закритого одиничного круга. Назва теореми пов'язана із геометричною інтерпретацією, яка використовується при доведенні нерівності у твердженні теореми. Теорема є важливою у теорії однолистих функцій. Зокрема за її допомогою доводиться нерівність Бібербаха і теорема Кебе про чверть.

Доведена шведським математиком Томасом Ґронвалом у 1914 році.

Твердження

Нехай голоморфна функція

$g(z)=z+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots$

є однолистою на |z| > 1. Тоді

$\sum _{n\geqslant 1}n|a_{n}|^{2}\leqslant 1.$

Доведення

При доведенні розглядається образ відображення $g(z).$ Доповнення до області значень цієї функції матиме невід'ємну площу, що і використовується при доведенні.

Для кола $|z|=r,\ r>1$ образом при дії функції g буде аналітична замкнута проста крива рівняння якої буде $w=w(t)=g(re^{it}),$ де $z=re^{it}.$Обчислимо площу А скінченної області, що обмежена цією кривою, вважаючи $w=u+iv:$

${\begin{aligned}A=\int _{0}^{2\pi }uv'dt=&\int _{0}^{2\pi }{w(t)+{\bar {\omega }}(t) \over 2}\cdot {w'(t)-{\bar {\omega }}'(t) \over 2}dt=\\&\int _{0}^{2\pi }\left({re^{it}+re^{-it} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}e^{-int}+{\bar {a}}_{n}e^{int} \over 2r^{n}}\right)\cdot \left({re^{it}+re^{-it} \over 2}-\sum _{n=1}^{\infty }{na_{n}e^{-int}+n{\bar {a}}_{n}e^{int} \over 2r^{n}}\right)dt\end{aligned}}$

Здійснивши обчислення і помітивши, що в результаті інтегрування пропадуть всі члени, які містять $e^{it}$ в цілій степені, не рівній нулю отримаємо:

$A=\pi r^{2}-\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{r^{2n}}}$ і враховуючи додатність цієї площі то також $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{r^{2n}}}<r^{2}.$

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}$є збіжним. В іншому випадку його сума була б нескінченною і тому для будь-якого M > 1 сума перших N доданків була б більшою за M для деякого N. Тоді обираючи r можна також зробити, що $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{r^{2n}}}>M,$ що суперечить попереднім нерівностям, якщо також вибрати r для якого r² < M)

Переходячи до границі для $r\to 1$ остаточно $\sum _{n\geqslant 1}n|a_{n}|^{2}\leqslant 1.$

Література

• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
• Duren, P. L. (1983), Univalent functions, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, т. 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5.
• Gong, Sheng (2014) [1999], The Bieberbach Conjecture, Studies in Advanced Mathematics, т. 12 (вид. Second), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2742-0.
• Hayman, W. K. (1994) [1958], Multivalent functions, Cambridge Tracts on Mathematics, т. 110 (вид. Second), Cambridge: Cambridge University Press, с. xii+263, ISBN 978-0-521-46026-2, MR 1310776, Zbl 0904.30001