Теорія Морса

Тео́рія Мо́рса — загальна назва теорій, що ґрунтуються на ідеях Морса і описують зв'язок алгебро-топологічних властивостей топологічного простору з критичними точками гладкої функції (функціоналів) на ньому. Теорія Морса є розділом варіаційного числення в цілому; проте останнє ширше: наприклад, воно включає в себе теорію категорій в сенсі Люстерника — Шнірельмана.

Основні результати

• Лема Морса.

• Якщо множина $f^{-1}([a,b])$ компактна, не перетинається з краєм многовиду $M$ і містить рівно одну критичну точку, що має індекс Морса $k$, то $f^{-1}(b)$ діффеоморфна многовиду, отриманому з $f^{-1}(a)$ приклеюванням ручки індексу k, див. хірургія.

• Кожній функції Морса $f$ на гладкому многовиді $M$ (без края) відповідає гомотопічно еквівалентний многовиду $M$ клітинний простір, клітини якого перебувають у бієктивній відповідності до критичних точок функції $f$, причому розмірність клітини дорівнює індексу відповідної критичної точки. Важливі наслідки цього подання:
  • Нерівність Морса.
  • Інструмент для вивчення топології многовидів. Причому важливі не тільки індекси, але і кількість критичних точок. Припустимо, на замкнутому многовиді задана функція Морса $f:M\to R$, що має в точности $m$ критичних точок (індекси яких невідомі), — як це впливає на топологію многовиду?
    • Випадок $m=1$ неможливий згідно з нерівностями Морса.
    • Випадок $m=2$: Теорема Ріба про сферу стверджує, що $M$ гомеоморфно (але, взагалі кажучи, не дифеоморфно) сфері $S^{n}$.
    • Випадок $m=3$ можливий тільки в деяких малих розмірностях, при цьому $M$ гомеоморфно многовиду Ілса — Кейпера.

Література

• Милнор Дж. Теория Морса = Morse Theory. — М. : Мир, 1965. — 184 с.
• Морс М. Вариационное исчисление в целом = The Calculus of Variations in the Large. — Ижевск : РХД, 2010. — 512 с.
• Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М. : Наука, 1971. — 568 с.