Теорія Ремзі

Теорія Ремзі — розділ математики, який вивчає умови, за яких у довільно сформованих математичних об'єктах зобов'язаний з'явитися певний порядок. Названа на честь Френка Ремзі.

Завдання теорії Ремзі зазвичай звучать у формі питання «скільки елементів має бути в деякому об'єкті, щоб гарантовано виконувалося задана умова чи існувала задана структура?». Найпростіший приклад:

Довести, що в будь-якій групі з 6 осіб, знайдуться троє людей, знайомих одне з одним, або троє людей, попарно незнайомих одне з одним.

Класичні результати

Припустимо, наприклад, що ми знаємо, що $n$ кроликів розсаджено в $m$ кліток. Наскільки великим має бути $n$ щоб гарантовано в одній з кліток було принаймні 2 кроликів? Згідно з принципом Діріхле, якщо $n>m$ , то знайдеться клітка, в якій буде мінімум 2 кроликів. Теорія Ремзі узагальнює цей принцип.

Огляд результатів до 1990 р. дано в роботі^[1].

Теорема Ремзі

Докладніше: Теорема Ремзі

Сам Ремзі довів таку теорему:

Нехай дано числа $a_{1},\;a_{2},\;\ldots ,\;a_{n}$ . Тоді існує таке число $R$ , що, як би ми не пофарбували ребра повного графу на $R$ вершинах у $n$ кольорів, знайдеться або повний підграф 1-го кольору на $a_{1}$ вершинах, або повний підграф 2-го кольору на $a_{2}$ вершинах, … або повний підграф $n$ -го кольору на $a_{n}$ вершинах.^[2]

Її було узагальнено на випадок гіперграфу.

Мінімальне число $R$ , за якого для заданого набору аргументів $a_{1},\;a_{2},\;\ldots ,\;a_{n}$ існує зазначене в теоремі розфарбування, називається числом Ремзі. Питання про значення чисел Ремзі за невеликим винятком залишається відкритим.

Теорема ван дер Вардена

Схожа за формулюванням, але відрізняється доведенням теорема ван дер Вардена:

Для кожного набору чисел $a_{1},\;a_{2},\;\ldots ,\;a_{n}$ існує таке число $W$ , що, як би ми не пофарбували перші $W$ натуральних чисел $n$ кольорів, знайдеться або арифметична прогресія 1-го кольору довжини $a_{1}$ , або арифметична прогресія 2-го кольору довжини $a_{2}$ , …, або арифметична прогресія $n$ -го кольору довжини $a_{n}$ .^[3]

Найменше таке число називається числом ван дер Вардена.

Замість множини натуральних чисел можна розглянути ґратку $\mathbb {Z} ^{n}$ , а арифметичних прогресій — фігури в ній, гомотетичні даній, і твердження теореми залишиться правильним (узагальнена теорема ван дер Вардена).

Теорема Хейлса — Джеветта

Для будь-яких чисел $n$ і $c$ можна знайти число $H$ таке, що якщо комірки $H$ -вимірного куба зі стороною довжини $n$ розфарбовано в $c$ кольорів, то існує хоча б одна лінія (лінією вважаються рядки, стовпці, деякі діагоналі) з $n$ одноколірних комірок.^[4]

З цієї теореми випливає, що під час гри в багатовимірні хрестики-нулики при будь-якій довжині рядка та будь-якому числі гравців можна знайти таке число вимірів, що нічия буде неможлива.

Гіпотеза Ердеша — Секереша про опуклі багатокутники

Для будь-якого натурального $N$ , кожна достатньо велика множина точок у загальному положенні на площині має підмножину з $N$ точок, які є вершинами опуклого багатокутника.^[5]

Згідно з гіпотезою Ердеша та Секереша про опуклі багатокутники число точок в загальному положенні, у яких обов'язково існує опуклий $N$ -кутник задається формулою:

f(N)=1+2^{N-2}

для всіх

N

Вони ж довели, що у множині з меншим числом точок опуклий $N$ -кутник може не існувати.

Теорема Крута про одноколірний єгипетський дріб

Для будь-якої розмальовки цілих чисел більших від $1$ в $r>0$ кольорів існує скінченна одноколірна підмножина $S$ цілих така, що

\sum _{n\in S}1/n=1.

При цьому максимальний елемент, а отже й розмір множини $S$ обмежений показниковою функцією від $r$ зі сталою основою.

Цю гіпотезу Ердеша — Грема^[ru] довів 2003 року Ернест Крут^[en].

Особливості теорії

Для результатів у рамках теорії Ремзі характерні дві властивості. По-перше, вони неконструктивні. Доводиться, що деяка структура існує, але не пропонується жодного способу її побудови, окрім прямого перебору. По-друге, щоби шукані структури існували, потрібно, щоб об'єкти, які їх містять, складалися з дуже великого числа елементів. Залежність числа елементів об'єкта від розміру структури зазвичай, принаймні, експоненціальна.

Див. також

Гіпотеза Ердеша — Бура

Примітки

↑ Graham, R.; Rothschild, B.; Spencer, J. H. (1990), Ramsey Theory (вид. 2nd), New York: John Wiley and Sons, ISBN 0-471-50046-1.
↑ Ramsey, F. P. (1930), On a problem of formal logic, Proc. London Math. Soc. Series 2, 30: 264—286, doi:10.1112/plms/s2-30.1.264
↑ van der Waerden, B. L. (1927). Beweis einer Baudetschen Vermutung. Nieuw. Arch. Wisk. 15: 212—216.
↑ Hales A., Jewett R. Regularity and positional games // Trans. Amer. Math. Soc. 106 (1963), p. 222—229.
↑ Erdős, P.; Szekeres, G. (1935), A combinatorial problem in geometry, Compositio Math, 2: 463—470, архів оригіналу за 19 лютого 2019, процитовано 18 лютого 2019

Література

Мартин Гарднер. Глава 17. Теория Рамсея // От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам = Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers / пер. с англ. Ю. А. Данилова. — М. : Мир, 1993. — С. 288—308. — 416 с. — 10 000 екз. — ISBN 5-03-001991-X.

Посилання

Теорія Ремзі (рос.) [Архівовано 19 лютого 2019 у Wayback Machine.]

[1] Graham, R.; Rothschild, B.; Spencer, J. H. (1990), Ramsey Theory (вид. 2nd), New York: John Wiley and Sons, ISBN 0-471-50046-1.

[2] Ramsey, F. P. (1930), On a problem of formal logic, Proc. London Math. Soc. Series 2, 30: 264—286, doi:10.1112/plms/s2-30.1.264

[3] van der Waerden, B. L. (1927). Beweis einer Baudetschen Vermutung. Nieuw. Arch. Wisk. 15: 212—216.

[4] Hales A., Jewett R. Regularity and positional games // Trans. Amer. Math. Soc. 106 (1963), p. 222—229.

[5] Erdős, P.; Szekeres, G. (1935), A combinatorial problem in geometry, Compositio Math, 2: 463—470, архів оригіналу за 19 лютого 2019, процитовано 18 лютого 2019

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]