Теорія полів класів

Теорія полів класів — у математиці основна гілка алгебраїчної теорії чисел, яка вивчає Абелеві розширення локальних полів (одновимірні локальні поля) і «глобальних полів» (одновимірні глобальні поля), таких як числові поля і поля функцій кривих у скінченних полях з точки зору абелевих топологічних груп, пов'язаних із полями. Вона також вивчає різні арифметичні властивості таких абелевих розширень. У свою чергу теорія полів класів поділяється на: теорію глобальних полів класів і теорію локальних полів класів.

Абелева топологічна група C_K що пов'язана з таким полем K є мультиплікативною групою локального поля або ідеальної алгебраїчної групи глобального поля.

Одним із фундаментальних результатів теорії полів класів є побудова не тривіального обопільного морфізму, до діє від C_K до групи Галуа максимального абелевого розширення поля K. Теорема про існування із теорії полів класів стверджує, що кожна відкрита підгрупа скінченного індексу з C_K є зображенням по відношенню до відображення норми від відповідного розширення поля класа до K.

Існує три основні узагальнення теорії полів класів: програма Ланглендса, теорія полів класів вищого порядку і анабелієва геометрія, кожна з яких має власне розуміння ключових аспектів теорії чисел.

Література

• Artin, Emil; Tate, John (1990), Class field theory, Redwood City, Calif.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-51011-9
• Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht, ред. (1967), Algebraic Number Theory, Academic Press, Zbl 0153.07403
• Iwasawa, Kenkichi (1986), Local class field theory, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2, MR 0863740, Zbl 0604.12014, архів оригіналу за 3 квітня 2014, процитовано 24 лютого 2018
• Neukirch, Jürgen (1986), Class Field Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15251-4
• Kawada, Y. (1955), Class formations, Duke Math.J., 22: 165—177, Zbl 0067.01904
• Kawada, Y.; Satake, I. (1956), Class formations. II, J.Fac. Sci.Univ. Tokyo Sect. 1A, 7: 353—389, Zbl 0101.02902
• Fesenko, Ivan B; Vostokov, Sergei V. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, т. 121 (вид. Second), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966
• Conrad, Keith, History of class field theory. (PDF), архів оригіналу (PDF) за 19 лютого 2018, процитовано 24 лютого 2018