Тест другої часткової похідної — метод використовуваний для визначення чи є критична точка функції максимумом, мінімумом чи сідловою точкою.
Гессіан дає наближення для функції у критичній точці за допомогою многочлена другого степеня.
Припустимо, що f(x, y) — диференційовна дійснозначима функція двох змінних чиї часткові похідні існують. Матриця Гессе H для f це 2 × 2 матриця часткових похідних f:
.
Нехай D(x, y) буде її визначником:
.
Насамкінець, припустимо що (a, b) це критична точка f (тобто, fx(a, b) = fy(a, b) = 0). Тоді тест другої часткової похідної стверджує таке:[1]
- Якщо
і
тоді
є локальним мінімумом f.
- Якщо
і
тоді
є локальним максимумом f.
- Якщо
тоді
є сідловою точкою f.
- Якщо
тоді тест другої похідної не є достатним, і точка (a, b) може бути мінімумом, максимумом або сідловою точкою.
Скористаємось розкладенням у ряд Тейлора:
У критичній точці
![{\displaystyle \Delta f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff38db24bc80b80a0a1ecfce75f3dca3fc79d54e) |
![{\displaystyle \simeq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b9738551241417d16d9843525ed52410af4dc9) |
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
Очевидно, що ми уникаємо точки
інакше це не спрацює. Тепер введемо заміну
маємо
Оскільки
знак
повністю визначає знак
Розглянемо квадратичну
функцію
- Якщо
і
або
тоді
для всіх ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
- Якщо
і
або
тоді
для всіх ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
- Якщо
тоді існують значення
такі, що
і такі, що ![{\displaystyle g(x)<0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c66e96169ab65ec3af97f143849e0513329f7d)
У виродженому випадку потрібен додатковий тест за допомогою вищих похідних.
Заувага, глобальний мінімум чи максимум функції не завжди є у критичній точці. Слід перевірити границі й нескінченність.
Доведення:
- Нехай
Якщо
тоді
що означає, що
для деякого
З іншого боку, якщо
тоді
отже знов, ми знаємо, що існує
коли
Якщо
і набуває від'ємних значень, то виходить, що
мусить десь обертатись у нуль. Ми можемо знайти коріні квадратного рівняння, тобто значення
де ![{\displaystyle g(x)=0:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58076a418184c6300a59701c13975980009ddf3)
це значить, що
тому значення
, отримані з цієї формули, не є дійсними (бо містять ненульову уявну частину). Це означає, що
ніколи не обертається на нуль для будь-якого
отже
ніколи не перетинає вісь
тому ![{\displaystyle \forall z,g(z)>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff1f5891769718184e9311a486201012e742f10)
- Цей випадок майже ідентичний попередньому.
- Якщо
то
перетинає вісь
двічі, тобто вона має як додатні так і від'ємні значення.