Топологія відкритого розширення

Нехай (X,τ) — топологічний простір, $p\notin X$ і $X^{*}\ =X\cup$ {p}. Тоді топологія τ*={X*} $\cup$τ називається топологією відкритого розширення на X*.

Властивості

• Точковилучена топологія є відкритим розширенням дискретної топології.
• X* є компактним, зв'язним і ультразв'язним простором.
• X* є сепарабельним, задовольняє першу або другу аксіому зліченності тоді й лише тоді, коли Х сепарабельний, задовольняє першу або другу аксіому зліченності відповідно.
• X* є $T_{0}$-простором в тому й лише в тому разі, коли Х є $T_{0}$-простором. Х* не є простором $T_{1}$ і відповідно $T_{2}$, $T_{3}$-простором. Х* є $T_{4}$-простором. Х* є $T_{5}$-простором тоді й лише тоді, коли Х є $T_{5}$-простором.
• Відкрите розширення точковмісної топології є $T_{0}$ і $T_{4}$, але не $T_{1}$ і $T_{5}$-простором.

Див. також

• Точковмісна топологія
• Точковилучена топологія

Література

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446