Трикутна потенційна яма

Трикутна квантова яма — одновимірна потенційна яма, обмежена з одного боку нескінченно високою потенційною стінкою, а з іншого — потенціалом, що лінійно зростає зі збільшенням координати. Один із простих профілів потенціалу у квантовій механіці, що допускають точне розв'язання задачі про знаходження рівнів енергії та хвильових функцій частки, що знаходиться в ямі.

Розглянемо потенціальну енергію $U(x)$ в наступному вигляді:

$U(x)={\begin{cases}eEx,&x\geq \;0\\+\infty ,&x<0\end{cases}}$

де $x$ — координата, $e$ — заряд електрону, $E$ — напруженість електричного поля, що визначає потенційну енергію, $eE>0$ .

Рівняння Шредінгера в даному одномірному випадку можна записати у вигляді:

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m}{\hbar \;^{2}}}(W-eEx)\psi =0.$

Для спрощення подальшого розгляду введемо безрозмірну змінну у вигляді:

$\xi =(-x+{\frac {W}{eE}})({\frac {2meE}{\hbar \;^{2}}})^{1/2}.$

Таким чином, отримаємо рівняння Шредінгера, яке не залежить від параметра енергії:

$\psi ''(\xi )+\xi \psi (\xi )=0.$

Розв'язок даного рівняння є

$\psi (\xi )=C\mathrm {Ai} (-\xi ),$

де функції Ейрі визначені таким чином:

$\mathrm {Ai} (\xi )={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{+\infty }\cos({\frac {u^{3}}{3}}+u\xi )\,du$

Основна особливість даної задачі полягає в тому, що при $x=0$ потенційна енергія різко зростає, і тому ми повинні для зшивання хвильових функцій використати умову:

$\psi (\xi _{j})=0,$

де $-\xi _{j}$ — від'ємні корені функції Ейрі. Можна привести перші 5 значень цих коренів: $\xi _{1}=2,33810741$ , $\xi _{2}=4,08794944$ , $\xi _{3}=5,52055983$ , $\xi _{4}=6,78670809$ , $\xi _{5}=7,94413359$ .

Таким чином, ми маємо дискретний спектр енергій для трикутної потенційної ями у вигляді:

$W_{j}=\xi _{j}{\big [}{\frac {eE\hbar \;}{\sqrt {2m}}}{\big ]}^{2/3}.$

Константа $C$ може бути визначена з умови нормування хвильової функції:

$\int \limits _{0}^{\infty }{dx}{{\left|\psi _{j}\left(x\right)\right|}^{2}}=1\,,$

звідки знаходимо, що

${{C}_{j}}={\frac {1}{Ai'\left(-{{\xi }_{j}}\right)}}\left({\frac {2meE}{\hbar \;^{2}}}\right)^{1/6}\,,$

де $Ai'(\xi )$ — похідна функції Ейрі.

Оскільки між потенційною енергією та дискретним спектром справедливе наступне співвідношення в точках, що обмежують класично доступну ділянку:

$U(x_{j})=eEx_{j}=W_{j}$

тому ми можемо знайти значення координати $x_{j}$ : $x_{j}=\xi _{j}{\big (}{\frac {\hbar \;^{2}}{2meE}}{\big )}^{1/3}$

Широкого розповсюдження дана задача набула в дослідженнях 2D-систем електронного газу інверсних шарів на поверхні розділу діелектрик — напівпровідник.

Література

Olivier Vallee, Manuel Soares. Airy functions and applications to physics. — London : Imperial College Press, 2004. — 194 с. — ISBN 1-86094-478-7.
Андо Т., Фаулер А., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. — М. : Мир, 1985. — 416 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.

Посилання

https://web.archive.org/web/20080516234045/http://www.wsi.tu-muenchen.de/nextnano3/tutorial/1Dtutorial_GaAs_triangular_well.htm

Див. також