Уявна одиниця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
i на комплексній або декартовій площині. Дійсні числа знаходяться на горизонтальній осі, а уявні числа на вертикальній осі.
Уявна одиниця
Числове значення 1 уявна одиниця
Формула [1]
Позначення у формулі і
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
Обернений елемент -id і -id
Протилежне -id

Уявна одиниця  — число, що при піднесенні до квадрата дає від'ємну одиницю:

Уявна одиниця не належить полю дійсних чисел, однак дає можливість розширити його до поля комплексних чисел.

Уявна одиниця є одним з двох розв'язків квадратного рівняння x2 + 1 = 0. Хоча не існує такого дійсного числа що мало б таку властивість, i використовують для розширення дійсних чисел до множини, що називається комплексними числами, і використовувати додавання і множення. Прикладом використання i для утворення комплексного числа є такий запис: 2 + 3i.

Уявна одиниця та від'ємна уявна одиниця

[ред. | ред. код]

Наведене вище рівняння має два розв'язки. Якщо один з них є , то іншим розв'язком буде , бо справджується така рівність:

Таким чином, виникає неоднозначність означення комплексного числа. Проте, хоча ці два числа не рівні між собою, для математики не існує різниці у тому, який саме з двох розв'язків рівняння позначатиметься , а яке .

Степені уявної одиниці

[ред. | ред. код]

Степені  повторюються в циклі:

Що можна записати для будь-якого степеня у вигляді:

де n — будь-яке натуральне число.

Звідси: де mod 4 — це остача від ділення на 4.

Число є дійсним:

Факторіал

[ред. | ред. код]

Факторіал уявної одиниці i можна визначити як значення гамма-функції від аргументу 1 + i:

Також

[2]

Корені з уявної одиниці

[ред. | ред. код]

В полі комплексних чисел корінь n-го степеня має n розв'язків. На комплексній площині корені уявної одиниці містяться у вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса.

Це випливає з формули Муавра й того, як уявна одиниця записується у тригонометричному вигляді:

Зокрема, та

Також корені уявної одиниці можуть бути представлені за допомогою експоненти:

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)
  • Лаврентьев М. А, Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Москва : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 736 с.(рос.)