Флуктуативно-дисипативна теорема

Флуктуативно-дисипативна теорема — співвідношення між величиною флуктуацій в термодинамічній системі й узагальненим відгуком системи на зовнішнє збурення.

Флуктуативно-дисипативна теорема встановлює зв'язок між середньо-квадратичним відхиленням фізичної величини $x$, $x^{2}$ та дисипативними властивостями середовища:

$\langle x^{2}\rangle ={\frac {\hbar }{\pi }}\int _{0}^{\infty }\alpha ^{\prime \prime }(\omega ){\text{cth}}\,\left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right)d\omega$,

де $\alpha ^{\prime \prime }$ - уявна частина узагальненої сприйнятливості, $\hbar$ - зведена стала Планка, $\omega$ - частота, $k_{B}$ - стала Больцмана, T - температура.

Фізична природа

Флуктуаційно-дисипативна теорема є математичним узагальненням того факту, що при флуктуаціях відбуваються ті ж процеси, що й при зовнішньому збуренні системи. Флуктуації та наслідки зовнішнього збурення затухають (дисипують) схожим чином. Наприклад, при проходженні електричного струму в напівпровіднику виділяється тепло - це дисипативний процес. В напівпровіднику можуть також виникнути флуктуації концентрації носіїв заряду. Для виникнення таких флуктуацій необхідна енергія, яка надходить від теплових коливань кристалічної ґратки. При розсмоктуванні флуктуацій відбуваються ті ж процеси дисипації енергії, що й при проходженні струму. Як наслідок, енергія повертається кристалічній ґратці.

Класичний випадок

При високій температурі, коли $k_{B}T\gg \hbar \omega$ для спектральної компоненти середньо-квадратичного відхилення справедлива простіша формула:

$\langle x^{2}\rangle _{\omega }={\frac {2k_{B}T}{\omega }}\alpha ^{\prime \prime }$,

яка виконується не лише у квантовому випадку, а й при класичному розгляді.

Якщо $k_{B}T\gg \hbar \omega$ справедливо для всього спектру флуктуацій, то:

$\langle x^{2}\rangle =k_{B}T\alpha (0)\,$,

тобто величина флуктуацій зв'язана із статичним значенням функції відгуку.

Приклади

Прикладом флуктуативно-дисипативної теореми є співвідношення Ейнштейна:

$D=k_{B}T\mu \,$,

яке зв'язує коефіцієнт дифузії D та рухливість $\mu$.

Флуктуативно-дисипативну теорему сформулювали Каллен та Велтон у 1951 році.

Формула Найквіста

В 1928 р. Джон Б. Джонсон виявив, а Гаррі Найквіст пояснив явище теплового шуму. При відсутності струму, що протікає через електричний опір, середня квадратична напруга залежить від опору $R$, $k_{B}T$ та ширини частотного діапазону вимірювань $\Delta \nu$ :

$\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu$.

Висновок

В електричних провідниках найбільш стійкими флуктуаціями виявляються такі, що призводять до виникнення стоячих хвиль. Число стоячих електромагнітних хвиль з частотою від $\nu$ до $\nu +d\nu$ в провіднику довжиною $L$ з врахуванням поляризації рівне $dn(\nu )=2\cdot {\frac {2Ld\nu }{c}}$. Будемо вважати, що на кожну стоячу хвилю приходиться енергія $k_{B}T$, що відповідає енергії гармонічного осцилятора. Тоді енергія стоячих хвиль з частотою від $\nu$ до $\nu +d\nu$ буде $dE(\nu )=4\cdot {\frac {L}{c}}d\nu k_{B}T$. Потужність на одиницю довжини кола дорівнює $dW={\frac {dE(\nu )}{\frac {L}{c}}}=4k_{B}Td\nu$. Вся енергія флуктуаційних струмів знову переходить в тепло на опорі. Втрата потужності на одиниці довжини провідника з опором $R$ по закону Джоуля-Ленца дорівнює ${\frac {dW(\nu )}{d\nu }}={\frac {\langle {V^{2}}\rangle (\nu )}{R}}$, де $\langle V^{2}\rangle$ - середній квадрат флуктуаційної ЕРС для хвиль з частотою $\nu$. Отримуємо формулу Найквіста:

$\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu$.