Формула Гревіля

Формула Гревіля дозволяє обчислити псевдообернену матрицю $\ A^{+}$ для матриці $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ скінченним ітераційним способом.

На k-тій ітерації обчислюється $A_{k}^{+},$ де $\ A_{k}$ — матриця з перших k стовпців матриці $\ A.$

Запишемо $\ A_{k}$ у вигляді

$A_{k}={\begin{bmatrix}A_{k-1}&a_{k}\end{bmatrix}},$

де

$\ a_{k}$ — k-тий стовпець матриці $\ A,\quad k={\overline {1,n}}.$

Позначимо також:

$\ d_{k}=A_{k-1}^{+}a_{k}$

$\ c_{k}=a_{k}-A_{k-1}d_{k}=(I_{m}-A_{k-1}A_{k-1}^{+})a_{k}$

Тоді:

$A_{k}^{+}={\begin{bmatrix}A_{k-1}^{+}-d_{k}b_{k}^{*}\\b_{k}^{*}\end{bmatrix}},$

де

$b_{k}^{*}=\left\{{\begin{matrix}c_{k}^{+},&c_{k}\neq 0;\\(1+d_{k}^{*}d_{k})^{-1}d_{k}^{*}A_{k-1}^{+},&c_{k}=0.\end{matrix}}\right.$

Джерела

• Adi Ben-Israel, Thomas N.E. Greville (2003). Generalized Inverses. Theory and Applications (вид. друге). Springer. с. 436.
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)