У аналітичній геометрії формула перерізу — це формула, яка використовується для знаходження співвідношення, в якому відрізок лінії ділиться точкою зсередини або зовні.[ 1] геометричного центру , центру вписаного кола і ексцентрів трикутника . У фізиці вона використовується для знаходження центру мас систем, точок рівноваги тощо [ 2] [ 3] [ 4]
Внутрішній поділ з формулою перерізу Якщо точка P, яка лежить на відрізку AB, ділить цей відрізок, що сполучає точки
A
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle \mathrm {A} (x_{1},y_{1})}
B
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x_{2},y_{2})}
m:n , то
P
=
(
m
x
2
+
n
x
1
m
+
n
,
m
y
2
+
n
y
1
m
+
n
)
{\displaystyle P=\left({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}}\right)}
[ 5]
Відношення m:n також можна записати як
m
/
n
:
1
{\displaystyle m/n:1}
k
:
1
{\displaystyle k:1}
k
=
m
/
n
{\displaystyle k=m/n}
P
{\displaystyle P}
A
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle \mathrm {A} (x_{1},y_{1})}
B
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x_{2},y_{2})}
(
m
x
2
+
n
x
1
m
+
n
,
m
y
2
+
n
y
1
m
+
n
)
{\displaystyle \left({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}}\right)}
=
(
m
n
x
2
+
x
1
m
n
+
1
,
m
n
y
2
+
y
1
m
n
+
1
)
{\displaystyle =\left({\frac {{\frac {m}{n}}x_{2}+x_{1}}{{\frac {m}{n}}+1}},{\frac {{\frac {m}{n}}y_{2}+y_{1}}{{\frac {m}{n}}+1}}\right)}
=
(
k
x
2
+
x
1
k
+
1
,
k
y
2
+
y
1
k
+
1
)
{\displaystyle =\left({\frac {kx_{2}+x_{1}}{k+1}},{\frac {ky_{2}+y_{1}}{k+1}}\right)}
[ 3] [ 4]
Подібним чином, співвідношення також можна записати як
k
:
k
−
1
{\displaystyle k:k-1}
(
(
1
−
k
)
x
1
+
k
x
2
,
(
1
−
k
)
y
1
+
k
y
2
)
{\displaystyle ((1-k)x_{1}+kx_{2},(1-k)y_{1}+ky_{2})}
[ 1]
Дано два трикутники:
P
A
Q
∼
B
P
C
{\displaystyle PAQ\sim BPC}
A
P
B
P
=
A
Q
C
P
=
P
Q
B
C
m
n
=
x
−
x
1
x
2
−
x
=
y
−
y
1
y
2
−
y
m
x
2
−
m
x
=
n
x
−
n
x
1
,
m
y
2
−
m
y
=
n
y
−
n
y
1
m
x
+
n
x
=
m
x
2
+
n
x
1
,
m
y
+
n
y
=
m
y
2
+
n
y
1
(
m
+
n
)
x
=
m
x
2
+
n
x
1
,
(
m
+
n
)
y
=
m
y
2
+
n
y
1
x
=
m
x
2
+
n
x
1
m
+
n
,
y
=
m
y
2
+
n
y
1
m
+
n
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {AP}{BP}}={\frac {AQ}{CP}}={\frac {PQ}{BC}}\\{\frac {m}{n}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y}}\\mx_{2}-mx=nx-nx_{1},my_{2}-my=ny-ny_{1}\\mx+nx=mx_{2}+nx_{1},my+ny=my_{2}+ny_{1}\\(m+n)x=mx_{2}+nx_{1},(m+n)y=my_{2}+ny_{1}\\x={\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},y={\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}}\\\end{aligned}}}
Зовнішній поділ з формулою перерізу Якщо точка P, що лежить на продовженні AB, ділить AB у відношенні m:n , то
P
=
(
m
x
2
−
n
x
1
m
−
n
,
m
y
2
−
n
y
1
m
−
n
)
{\displaystyle P=\left({\dfrac {mx_{2}-nx_{1}}{m-n}},{\dfrac {my_{2}-ny_{1}}{m-n}}\right)}
[ 5]
Дано два трикутники
P
A
C
∼
P
B
D
{\displaystyle PAC\sim PBD}
A
B
B
P
=
A
C
B
D
=
P
C
P
D
m
n
=
x
−
x
1
x
−
x
2
=
y
−
y
1
y
−
y
2
m
x
−
m
x
2
=
n
x
−
n
x
1
,
m
y
−
m
y
2
=
n
y
−
n
y
1
m
x
−
n
x
=
m
x
2
−
n
x
1
,
m
y
−
n
y
=
m
y
2
−
n
y
1
(
m
−
n
)
x
=
m
x
2
−
n
x
1
,
(
m
−
n
)
y
=
m
y
2
−
n
y
1
x
=
m
x
2
−
n
x
1
m
−
n
,
y
=
m
y
2
−
n
y
1
m
−
n
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {AB}{BP}}={\frac {AC}{BD}}={\frac {PC}{PD}}\\{\frac {m}{n}}={\frac {x-x_{1}}{x-x_{2}}}={\frac {y-y_{1}}{y-y_{2}}}\\mx-mx_{2}=nx-nx_{1},my-my_{2}=ny-ny_{1}\\mx-nx=mx_{2}-nx_{1},my-ny=my_{2}-ny_{1}\\(m-n)x=mx_{2}-nx_{1},(m-n)y=my_{2}-ny_{1}\\x={\frac {mx_{2}-nx_{1}}{m-n}},y={\frac {my_{2}-ny_{1}}{m-n}}\\\end{aligned}}}
Середня точка відрізка ділить його у співвідношенні
1
:
1
{\textstyle 1:1}
формули перерізу для внутрішнього поділу: [ 3] [ 4]
P
=
(
x
1
+
x
2
2
,
y
1
+
y
2
2
)
{\displaystyle P=\left({\dfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\dfrac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)}
P
=
(
m
x
2
+
n
x
1
m
+
n
,
m
y
2
+
n
y
1
m
+
n
)
{\displaystyle P=\left({\dfrac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\dfrac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}}\right)}
=
(
1
⋅
x
1
+
1
⋅
x
2
1
+
1
,
1
⋅
y
1
+
1
⋅
y
2
1
+
1
)
{\displaystyle =\left({\frac {1\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}}{1+1}},{\frac {1\cdot y_{1}+1\cdot y_{2}}{1+1}}\right)}
=
(
x
1
+
x
2
2
,
y
1
+
y
2
2
)
{\displaystyle =\left({\dfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\dfrac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)}
Геометричний центр трикутника Геометричний центр трикутника є точкою перетину медіан , яка ділить кожну медіану у співвідношенні
2
:
1
{\textstyle 2:1}
A
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle A(x_{1},y_{1})}
B
(
x
2
,
y
2
)
{\textstyle B(x_{2},y_{2})}
C
(
x
3
,
y
3
)
{\textstyle C(x_{3},y_{3})}
(
x
2
+
x
3
2
,
y
2
+
y
3
2
)
{\textstyle \left({\frac {x_{2}+x_{3}}{2}},{\frac {y_{2}+y_{3}}{2}}\right)}
(
x
1
+
x
2
+
x
3
3
,
y
1
+
y
2
+
y
3
3
)
{\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\right)}
Нехай A і B — дві точки з декартовими координатами (x 1 , y 1 , z 1 ) і (x 2 , y 2 , z 2 ), а P — точка на прямій, що проходить через A і B. Якщо
A
P
:
P
B
=
m
:
n
{\displaystyle AP:PB=m:n}
(
m
x
2
+
n
x
1
m
+
n
,
m
y
2
+
n
y
1
m
+
n
,
m
z
2
+
n
z
1
m
+
n
)
{\displaystyle \left({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}},{\frac {mz_{2}+nz_{1}}{m+n}}\right)}
[ 6]
Якщо натомість, P є точкою на прямій так, що
A
P
:
P
B
=
k
:
1
−
k
{\displaystyle AP:PB=k:1-k}
(
(
1
−
k
)
x
1
+
k
x
2
,
(
1
−
k
)
y
1
+
k
y
2
,
(
1
−
k
)
z
1
+
k
z
2
)
{\displaystyle ((1-k)x_{1}+kx_{2},(1-k)y_{1}+ky_{2},(1-k)z_{1}+kz_{2})}
[ 6]
Позиційний вектор точки P, що розділяє відрізок, що з’єднує точки A і B, позиційні вектори яких є
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
у співвідношенні
m
:
n
{\displaystyle m:n}
n
a
→
+
m
b
→
m
+
n
{\displaystyle {\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}}
[ 1]
у співвідношенні
m
:
n
{\displaystyle m:n}
m
b
→
−
n
a
→
m
−
n
{\displaystyle {\frac {m{\vec {b}}-n{\vec {a}}}{m-n}}}
[ 7]
↑ а б в Clapham, Christopher; Nicholson, James (18 вересня 2014), section formulae , The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (англ.) , Oxford University Press, doi :10.1093/acref/9780199679591.001.0001 , ISBN 978-0-19-967959-1 , процитовано 30 жовтня 2020 ↑ Section Formula | Brilliant Math & Science Wiki . brilliant.org (амер.) . Процитовано 16 жовтня 2020 .↑ а б в Aggarwal, R.S. Secondary School Mathematics for Class 10 . Bharti Bhawan Publishers & Distributors (1 January 2020). ISBN 978-9388704519 ↑ а б в Sharma, R.D. Mathematics for Class 10 . Dhanpat Rai Publication (1 January 2020). ISBN 978-8194192640 ↑ а б Loney, S L. The Elements of Coordinate Geometry (Part-1) . ↑ а б Clapham, Christopher; Nicholson, James (18 вересня 2014), section formulae , The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (англ.) , Oxford University Press, doi :10.1093/acref/9780199679591.001.0001 , ISBN 978-0-19-967959-1 , процитовано 30 жовтня 2020 ↑ https://ncert.nic.in/ncerts/l/leep210.pdf 
