Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Функція Міттаг-Лефлера — функція Ec(z) комплексної змінної z , введена Міттаг-Лефлером в 1905 році як узагальнення показникової функції :
E
α
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
x
k
Γ
(
α
k
+
1
)
{\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+1)}}}
α
∈
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle \alpha \in (0,+\infty )}
В даній формулі
Γ
{\displaystyle \Gamma }
гамма-функцію .
Для вказаних значень параметра
α
{\displaystyle \alpha }
голоморфною на всій комплексній площині.
Можна також визначити узагальнені функції Міттаг-Лефлера:
E
α
,
β
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
x
k
Γ
(
α
k
+
β
)
{\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha ,\beta }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}}
α
,
β
∈
C
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }
Якщо дійсна частина
α
{\displaystyle \alpha }
додатне число то даний ряд є збіжним для всіх значень комплексного аргументу і функція є голоморфною на всій комплексній площині.
E
1
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
z
k
Γ
(
k
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
z
k
k
!
=
exp
(
z
)
.
{\displaystyle E_{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).}
E
1
/
2
(
z
)
=
exp
(
z
2
)
erfc
(
−
z
)
.
{\displaystyle E_{1/2}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).}
E
2
(
z
)
=
cosh
(
z
)
.
{\displaystyle E_{2}(z)=\cosh({\sqrt {z}}).}
E
0
(
z
)
=
1
1
−
z
.
{\displaystyle E_{0}(z)={\frac {1}{1-z}}.}
В даному прикладі параметр рівний нулю, тож функція не є голоморфною в точці 1. Гольдберг А.А., Островский И.В., Распределение значений мероморфных функций, М., 1970. 
