Функція належності

Функція належності нечіткої множини — узагальнення характеристичної (індикаторної) функції класичної множини. В нечіткій логіці вона являє собою ступінь належності кожного члена простору міркувань до даної нечіткої множини.

Визначення

Для простору міркувань $\mathbf {X} \$ та даної функції належності $\mu :\mathbf {X} \to [0,1]$ нечітка множина визначається як

${\tilde {\mathit {A}}}=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in \mathbf {X} \}.$

Функція належності $\mu _{A}(x)\$ кількісно градуює належність елементів фундаментальної множини простору міркувань $x\in \mathbf {X}$ нечіткій множині ${\tilde {\mathit {A}}}$. Значення $0\$ означає, що нечітка множина не включає у себе цей елемент, $1\$ описує повну належність елементу. Значення між $0\$ та $1\$ характеризують нечітко включені елементи.

Нечітка множина та класична, чітка (crisp) множина

Класифікація функцій належності нормальних нечітких множин

Нечітка множина називається нормальною, якщо для її функції належності $\mu _{A}(x)\$ справедливе твердження, що існує такий $x\in \mathbf {X}$, щоб $\mu _{A}(x)=1\$.

Функція належності класу s

Функція належності класу s визначається як:

$s\left(x;a,b,c\right)=\left\{{\begin{matrix}0,&x\leqslant a,\\2\left({{x-a} \over {c-a}}\right)^{2},&a\leqslant x\leqslant b,\\1-2\left({{x-c} \over {c-a}}\right)^{2},&b\leqslant x\leqslant c,\\1,&x\geqslant c,\end{matrix}}\right.$

де $b={{a+c} \over {2}}$.

Функція належності класу π

Функція належності класу π визначається через функцію класу s:

$\pi \left(x;a,b,c\right)=\left\{{\begin{matrix}s\left(x;c-b,c-{b \over 2},c\right),&x\leqslant c,\\1-s\left(x;c,c+{b \over 2},c+b\right),&x\geqslant c,\end{matrix}}\right.$

де $b={{a+c} \over {2}}$.

Функція належності класу γ

Функція належності класу γ визначається як:

$\gamma \left(x;a,b\right)=\left\{{\begin{matrix}0,&x\leqslant a,\\{{x-a} \over {b-a}},&a\leqslant x\leqslant b,\\1,&x\geqslant b,\end{matrix}}\right.$

Функція належності класу t

Функція належності класу t визначається як:

$t\left(x;a,b,c\right)=\left\{{\begin{matrix}0,&x\leqslant a,\\{{x-a} \over {b-a}},&a\leqslant x\leqslant b,\\{{c-x} \over {c-b}},&b\leqslant x\leqslant c,\\0,&x\geqslant c,\end{matrix}}\right.$

Функція належності класу L

Функція належності класу L визначається як:

$L\left(x;a,b\right)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\leqslant a,\\{{b-x} \over {b-a}},&a\leqslant x\leqslant b,\\0,&x\geqslant b,\end{matrix}}\right.$

Посилання

• Fuzzy Image Processing

Література

• Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. — М.:Горячая линия — Телеком, 2004. — 452 с — ISBN 5-93517-103-1