Лінгвістична змінна

Лінгвістична змінна (англ. Linguistic variable) — це одне з ключових понять нечіткої логіки. Суть даного поняття полягає в тому, що конкретні значення числової змінної $x$ зазвичай піддають людській суб'єктивній оцінці, причому результат такої оцінки виражено природною мовою.

Поняття «лінгвістична змінна» в її спрощеній формі задається у вигляді:

$\langle X,T(X),E,G,M\rangle$,

де $X$ — назва лінгвістичної змінної; $T(X)$ — множина її значень (терм-множина), що являють собою найменування нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є множина $X$; $E=\{e\}$ — універсум, тобто весь діапазон значень змінної $X$; $G$ — синтаксичне правило, що породжує назви нечіткої змінної (тобто терм); $M$ — семантичне правило, яке ставить у відповідність кожній нечіткій змінній $X$ її значення $\mu (x)$.

Терм-множина $T(X)$ – це множина всіх можливих значень лінгвістичної змінної. Терм – будь-який елемент терм-множини. У теорії нечітких множин терм формалізується нечіткою множиною за допомогою функції належності.

Наочним прикладом нечіткої логіки можна навести відповіді людей на питання: «Чи холодно вам зараз?». Здебільшого люди розуміють, що йдеться не про абсолютну температуру за шкалою Цельсія, а про особисте сприйняття температури. Для багатьох людей +15 °C буде цілком теплою, інші потрактують таку температуру як прохолодну. На відміну від людей, машини не здатні проводити таку тонку градацію. Якщо стандартом визначення холоду буде «температура нижче +15 °C», то +14,99 °C буде розцінюватися як холод, а +15 °C — не буде.

Назвемо цю групу визначень лінгвістичною змінною з ім'ям $X$ = «температура в кімнаті», яка описує суб'єктивне сприйняття температури людиною. Тоді інші параметри змінної можна визначити таким чином:

1) універсальна множина $E=[5,35]$;

2) терм-множина $T(X)$ = {«холодно», «комфортно», «жарко»} з такими функціями належності:

$\mu _{cold}(x)={\frac {1}{1+{\biggl (}{\frac {U-10}{7}}{\biggr )}^{12}}}$, $\mu _{comfort}(x)={\frac {1}{1+{\biggl (}{\frac {U-20}{3}}{\biggr )}^{6}}}$ та $\mu _{hot}(x)={\frac {1}{1+{\biggl (}{\frac {U-30}{6}}{\biggr )}^{10}}}$.

На рис. 1. зображено графік, що допомагає зрозуміти те, як людина сприймає температуру. Температуру в +10 °C людина сприймає як холод, а температуру в +30 °C – як спеку. Температура в +15 °C одним здається низькою, іншим – достатньо комфортною.

Рисунок 1 — Лінгвістична змінна

3) синтаксичне правило $G$, що породжує нові терми з використанням квантифікаторів «І», «АБО», «НЕ», «ДУЖЕ», «БІЛЬШ/МЕНШ» та ін.;

4) семантичне правило $M$ — це процедура, яка ставить у відповідність кожному новому терму $X$ нечітку множину. Якщо терми А та В мали функції належності $\mu _{A}(x)$ та $\mu _{B}(x)$ відповідно, то нові терми будуть мати функції належності, задані в таблиці 1.

Таблиця 1 — Функція належності

Квантіфікатор	Функція належності
не t	$1-\mu _{t}(x)$
дуже t	$(\mu _{t}(x))^{2}$
більш/менш t	${\sqrt {\mu _{t}(x)}}$
А І B	$min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$
А АБО B	$max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$

Приклад використання лінгвістичних змінних в системах нечіткого виведення.

Розглянемо систему нечіткого виведення, що описується трьома параметрами: температура, тиск та витрати робочої речовини. Всі показники вимірювані, та множина можливих значень відома. Також з досвіду роботи з системою відомі деякі правила, що пов'язують значення цих параметрів. Припустимо, що зламався датчик, що вимірював значення одного з параметрів системи, але знати його показання потрібно хоча б приблизно. Тоді постає завдання про пошук цього невідомого значення (нехай це буде тиск) за відомих показників двох інших параметрів (температура та витрати). Зв'язок цих величин у вигляді продукційних правил подано нижче:

p1. якщо «Температура низька» і «Витрати малі», то «Тиск низький»;

p2. якщо «Температура середня», то «Тиск середній»;

p3. якщо «Температура висока» або «Витрати великі», то «Тиск високий».

Температура, тиск та витрати – лінгвістичні змінні.

Етап фазифікації:

1) Вхідна лінгвістична змінна «Температура». Універсум — відрізок [0, 150]. Початкова множина термів {Висока, Середня, Низька}. Функції належності термів мають наступний вигляд (рис. 2):

Рисунок 2 ౼ Функції належності термів лінгвістичної змінної «Температура»

3) Вхідна лінгвістична змінна «Витрати». Універсум — відрізок [0, 8]. Початкова множина термів {Великий, Середній, Малий}. Функції належності термів мають такий вигляд (рис. 3):

Рисунок 3 — Функції належності термів лінгвістичної змінної «Витрати»

2) Вихідна лінгвістична змінна «Тиск». Універсум — відрізок [0, 100]. Початкова множина термів {Високий, Середній, Низький}. Функції належності термів мають такий вигляд (рис. 4):

Рисунок 4 — Функції приналежності термів лінгвістичної змінної «Тиск»

Нехай відомі значення змінних «Температура» — 85 та «Витрати» — 3,5. Зробимо розрахунок значення тиску.

Етап агрегування — за заданими значеннями вхідних параметрів знайдемо ступені істинності найпростіших тверджень:

• Температура Висока: $\mu (85)=0.7$;
• Температура Середня: $\mu (85)=1$;
• Температура Низька: $\mu (85)=0.3$;
• Витрати Великі: $\mu (3.5)=0$;
• Витрати Середні: $\mu (3.5)=0.75$;
• Витрати Малі : $\mu (3.5)=0.25$.

Потім обчислимо ступені істинності передумов правил:

• Температура низька і Витрати малі: $\mu (p1)=min(0.3,0.25)=0.25$.
• Температура Середня: $\mu (p2)=1$.
• Температура Висока або Витрати Великі: $\mu (p3)=max(0.7,0)=0.7$.

Етап активізації – визначаються функції належності кожного з висновків для розглянутої вихідної лінгвістичної змінної «Тиск».

Рисунок 5 — Результати активізації

Етап акумулювання — об'єднання функцій належності, отриманих на етапі активізації, через побудову максимуму отриманих функцій належності (рис. 6).

Рисунок 6 — Результат акумулювання

Етап дефазифікації. Отриману функцію належності вже можна вважати результатом. Це новий терм вихідної змінної «Тиск». Його функція належності сповіщає про ступінь істинності в значенні тиску при заданих значеннях вхідних параметрів і використанні правил, що визначають співвідношення вхідних та вихідних змінних. Але зазвичай все-таки потрібно якесь конкретне числове значення. Існує багато методів дефазифікації, але в цьому випадку досить методу першого максимуму. Застосовуючи його до отриманої функції належності, отримуємо, що значення тиску – 50.

Таким чином, якщо ми знаємо, що температура дорівнює 85, а витрати робочої речовини – 3,5, то можемо зробити висновок, що тиск дорівнює приблизно 50 (рис. 6).

Див. також

• Система нечіткого виведення
• Нечітка логіка
• Фазифікація
• Дефазифікація
• Функція належності
• Продукційні правила