Функції Лежандра

Функції Лежандра P_λ, Q_λ та приєднані функції Лежандра P^μ
_λ, Q^μ
_λ є узагальненнями поліномів Лежандра для нецілих індексів.

Означення

Функції Лежандра визначаються для будь-яких комплексних параметрів та аргументів через гіпергеометричні фукнції

$P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2$

де $\Gamma$ — гамма-функція, а $_{2}F_{1}$ — гіпергеометрична функція.

$Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),$ для $|z|>1.$.

Вони є розв'язками рівняння

$(1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0,\,$

Див. також

• Приєднані поліноми Лежандра
• Список об'єктів, названих на честь Адрієна-Марі Лежандра
• Хі-функція Лежандра

Література

• Snow, Chester (1952) [1942], Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, Washington, D.C.: U. S. Government Printing Office, MR 0048145
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963), A Course in Modern Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2