Циліндрична напруженість

Компоненти циліндра або окружної напруги.

У механіці циліндрична напруженість є розподілом напружень з обертальною симетрією; тобто, що залишається незмінною, якщо напружений об'єкт обертається навколо деякої фіксованої осі.

Шаблони циліндричної напруженості:

• Окружна напруженість або кільцеве напруження, нормальна напруга в тангенціальному (азимут) напрямку;
• Осьова напруженість, нормальна напруга паралельно осі циліндричної симетрії;
• Радіальна напруженість, напруженість в напрямках одній площини, але перпендикулярно до осі симетрії.

Класичний приклад кільцевого напруження є напруга яка застосовується до залізних смуг або обручів на дерев'яній бочці. У пряму, закриту трубу, будь-яке зусилля, що прикладається до циліндричної стінки труби за допомогою перепаду тиску, в результаті призвести до обруча напружень. Аналогічним чином, якщо ця труба має плоскі торцеві кришки, будь-яке зусилля, прикладена до них під дією статичного тиску викликатиме перпендикулярне осьове навантаження на одній і тій же стінці труби. Тонкі зрізи часто мають дуже малу радіальне навантаження, але точні моделі товстіших тонкостінних циліндричних оболонок піддаються таким напруженням, які необхідно брати до уваги.

Кільцеве напруження

Кільцеве напруження є силою, що діє в окружному напрямку (перпендикулярно як до осі, так і до радіуса об'єкта) в обох напрямках на кожну частку в стінці циліндра. Вона може бути описана як:

$\sigma _{\theta }={\dfrac {F}{tl}}\$,

де:

• F це сила, що діє по колу на площі стінки циліндра, яка має такі дві довжини сторін, як:
• t це радіальна товщина циліндра
• l це осьова довжина циліндра

Альтернатива кільцевої напруги в описі окружного стресу є стіна стресу або напруга стінки (Т), яка зазвичай визначається як сумарна окружна сила, що діє уздовж всієї радіальної товщини:

$T={\dfrac {F}{l}}\$

Циліндричні координати

Поряд з осьовою напругою і радіальною напругою, окружне напруження являє собою компонент тензора напружень в циліндричних координатах.

Це, як правило, корисно, щоб розкласти будь-яке зусилля, що прикладається до об'єкта з обертальною симетрією на складові паралельно циліндричні координати r, z, θ. Ці компоненти сил викликають відповідні напруги: радіальне зусилля, осьове зусилля і розтяжна напруга, відповідно.

Відношення до внутрішнього тиску

Тонкостінні припущення

Для тонкостінного припущення, щоб бути дійсним повинно мати товщину стінок не більше, ніж близько однієї десятої його радіуса. Це дозволяє розглядати стінки як поверхні, а потім з використанням рівняння Юнга-Лапласа для оцінки розтягуючої напруги, створеної за допомогою внутрішнього тиску на тонкостінного циліндричної судини високого тиску:

$\sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\$ (для циліндра)

$\sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}\$ (для сфери)

де

• P це внутрішній тиск.
• t це товщина стінки.
• r це середній радіус циліндра.
• $\sigma _{\theta }\!$ це кільцеве напруження.

Рівняння кільцевої напруги для тонких оболонок також наближено справедливе для сферичних судин, в тому числі рослинних клітин і бактерій, в яких внутрішній тиск може досягати кількох атмосфер. У практичних інженерних додатків для циліндрів (труби та трубки), кільцеве напруження часто перероблено для тиску, і називається формулою Барлоу.

Коли посудина закрита закінчує внутрішній тиск і діє на них, щоб розвинути зусилля вздовж осі циліндр. Це відомо як осьова навантаженість і, як правило, менше відома, ніж кільцева напруженість.

$\sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}\$

Це може бути наближене до

$\sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\$

Крім того, в цій ситуації радіальна напруженість $\sigma _{r}\$ розроблена і може бути оцінена в тонкостінних циліндрах, як:

$\sigma _{r}={\dfrac {-P}{2}}\$

Товстостінні судини

Коли циліндр, який розглядається має радіус менш ніж 10, тонкостінні рівняння циліндра більше не проводяться, оскільки напруги значно різняться між внутрішнім і зовнішніми поверхнями й напругою зсуву через поперечний переріз більше не можуть нехтуватися.

Ці напруги та деформації можуть бути обчислені за допомогою рівнянь Ламу, набір рівнянь, розроблених французьким математиком Габріелем Ламу.

$\sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}\$

$\sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}\$

де

• A і B постійні інтегрування, які можуть бути визначені з граничних умов
• r радіус в точці, що представляє інтерес (наприклад, на внутрішній або зовнішній стіні)

A і B можуть бути знайдені шляхом перевірки граничних умов. Наприклад, в найпростішому випадку являє собою суцільний циліндр:

якщо $R_{i}=0$ тоді $B=0$ і твердий циліндр не може мати внутрішній тиск, так $A=P_{o}$

Історичний розвиток теорії

Перший теоретичний аналіз напружень в циліндрах був розроблений в середині 19-го століття інженером Вільямом Фербаерном, за сприяння його математичного аналітика Ітона Ходжкінсона. Їхній перший інтерес був у вивченні дизайну і невдач парових котлів. Фейрберн зрозумів, що кільцеве напруження у два рази поздовжнє напруга^[що?], є важливим фактором при складанні котлів з листового прокату, з'єднаних клепкою. Пізніше робота була застосована для будівництва мостів, і винахід коробчатої балки. У Залізничному мосту Чепсі, чавунна колона посилюється зовнішніми смугами кованого заліза. По вертикалі, поздовжня сила є стискаючою силою, якій чавун добре здатний протистояти. Кільцева напруга є розтягуючою й оскільки коване залізо, матеріал з більшою міцністю на розтяг, ніж чавун, то вона додається.

Джерела

• Божидарник В. В., Сулим Г. Т. Елементи теорії пластичності та міцності. — Львів : Світ, 1999. — 945 с.
• Муха І. С., Буренко В. І. Пружнопластичний напружено-деформований стан і стійкість тонкостінних гнучких конструкцій = Упругопластическое напряженно-деформированное состояние и устойчивость тонкостенных гибких конструкций // Теоретическая и прикладная механика. — 2001. — Вип. 34. — С. 183-189.
• Муха І. С. Чисельне дослідження процесів нелінійного пружного деформування неоднорідних тонкостінних гнучких тіл складної форми // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. — 2003. — С. 158-160.
• Savula Yarema H., Karoly Jarmai, Mukha Igor S. Numerical modeling of ring-stiffened shells // Прикладная механика. — 2008. — Вип. 11. — С. 14.