У теорії чисел, мультиплікативна функція — арифметична функція
, така що
для будь-яких взаємно простих чисел
і ![{\displaystyle m_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ecebe334d5cadc3ffcf245eb02919034d7a2ec8)
![{\displaystyle f(1)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23ec03a1dad7631fc47878cb66b800a538dff1c)
При виконанні першої умови, вимога
рівносильно тому, що функція
не рівна тотожно нулю.
Слід зазначити, що поза теорією чисел під мультиплікативною функцією розуміють будь-яку функцію
, визначену на деякій множині
, таку що
для довільних
.
У теорії чисел такі функції, тобто функції
, для яких умова мультиплікативності виконана для всіх натуральних
, називаються цілком мультиплікативними.
Мультиплікативна функція називається сильно мультиплікативною, якщо
![{\displaystyle f(p^{\alpha })=f(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5c720996a4bf8a54c5609f6a379502e092c5d8)
для всіх простих
і всіх натуральних
.
- Функція
— число натуральних дільників натурального
.
- Функція
— сума натуральних дільників натурального
.
- Функція Ейлера
.
- Функція Мебіуса
.
- Функція
є сильно мультиплікативною.
- Степенева функція
є цілком мультиплікативною. Зокрема це ж стосується і її важливих часткових випадків
- константи
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,1(n)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fd0b5159dec6b7932a293f70dbee77b8bb6f51)
- тотожної функції
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\operatorname {Id} (n)=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51303d58d5b0e7b24e30f4f4a0c15ff4418d21a)
— символ Лежандра, як функція від n, при заданому простому числі p.
Якщо
— мультиплікативна функція, то функція
![{\displaystyle g(m)=\sum _{d|m}f(d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b65d5c171f7c5cf329d9ac927cd4deaeac17dd)
також буде мультиплікативною. Навпаки, якщо функція
, визначена цим співвідношенням є мультиплікативною, то і початкова функція
також мультиплікативна.
Більш того, якщо
і
— мультиплікативні функції, то мультиплікативною буде і їх згортка Діріхле
![{\displaystyle h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58557e92dc495cd19ef258b80496244bff25c9f)
Це випливає з того, що довільне число d, що ділить добуток двох взаємно простих чисел n і m однозначно записується як d=d1.d2, де d1 — дільник числа n, d2 — дільник числа m.
Тоді з визначень можна записати
.
Якщо f і g — мультиплікативні функції то :
,
,
.
Відносно згортки Діріхле мультиплікативні функції утворюють абелеву групу, нейтральним (одиничним) елементом якої є функція:
![{\displaystyle \varepsilon (n)={\begin{cases}1&n=1\\0&n\neq 1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aff21dd482a83416b49dcb7295d048ab0aa7c5e)