Арифметична функція
Арифметична (аритметична[1]) функція — функція, визначена на множині натуральних чисел , що набуває значень у множині комплексних чисел .
Як випливає з визначення, арифметичною функцією називається будь-яка функція
Назва арифметична функція пов'язана з тим, що в теорії чисел відомо багато функцій натурального аргументу , які виражають ті або інші арифметичні властивості . Тому, неформально кажучи, під арифметичною функцією розуміють функцію , яка «виражає деяку арифметичну властивість» натурального числа (див. приклади арифметичних функцій нижче).
Багато арифметичних функцій, що розглядаються в теорії чисел, насправді приймають цілочислові значення.
- Сумою арифметичної функції називають функцію , визначену як
Ця операція є «дискретним аналогом» невизначеного інтеграла; при цьому, хоча початкова функція і була визначена тільки на , її суму виявляється зручним вважати визначеною на всій додатній півосі (при цьому вона, природно, кусково-стала).
- Згорткою Діріхле двох арифметичних функцій f і g називається арифметична функція h, визначена за правилом
- Арифметичній функції f можна зіставити її генератрису—ряд Діріхле
При цьому згортці Діріхле двох арифметичних функцій відповідає добуток їх генератрис.
- Поточкове множення на логарифм
є диференціюванням алгебри арифметичних функцій: відносно згортки воно задовольняє правилу Лейбніца
Перехід до генератриси, перетворює цю операцію на звичайне диференціювання.
Арифметична функція визначається як число додатнних дільників натурального числа :
Якщо і взаємно прості, то кожен дільник добутку може бути єдиним чином поданий у вигляді добутку дільників і , і навпаки, кожне такий добуток є дільником . Звідси випливає, що функція мультиплікативна:
Якщо — розклад на прості множники натурального числа , то зважаючи на мультиплікативність
Але додатними дільниками числа є чисел .
Відповідно
Функція визначається як сума дільників натурального числа :
Узагальнюючи функції і для довільного, взагалі кажучи комплексного можна визначити — суму -их степенів додатних дільників натурального числа :
Використовуючи нотацію Айверсона можна записати
Функція мультиплікативна:
Якщо — розклад на прості дільники натурального числа , то
Функція Ейлера , визначається як кількість додатних цілих чисел, що не є більшими за , і є взаємно простими з .
Користуючись нотацією Айверсона можна записати:
Функція Ейлера мультиплікативна:
У явному вигляді значення функції Ейлера виражається формулою:
де — різні прості дільники .
Функцію Мебіуса можна визначити як арифметичну функцію, що задовольняє наступній властивості:
Тобто сума значень функції Мебіуса по всіх дільниках цілого додатного числа рівна нулю, якщо , і рівна , якщо .
Можна показати, що цьому рівнянню задовольняє лише одна функція, і її можна явно задати наступною формулою:
Тут — різні прості числа — просте число. Інакше кажучи, функція Мебіуса рівна , якщо не вільно від квадратів (тобто ділиться на квадрат простого числа), і рівна інакше (плюс або мінус вибирається залежно від парності числа простих дільників ).
Функція Мебіуса є мультиплікативною функцією.
- Алгебраїчна функція
- Аналітичні функції
- Раціональні функції
- Трансцендентні функції
- Функція суми квадратів
- Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ., — М.: «Мир», 1975;
- Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
- ↑ Український правопис 2019, § 123. Буквосполучення th у словах грецького походження (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 17 вересня 2019. Процитовано 7 лютого 2021. [Архівовано 2019-09-17 у Wayback Machine.]