Часткова геометрія

Нехай є структура інцидентності $C=(P,L,I)$, що складається з точок $P$, прямих $L$ і прапорів $I\subseteq P\times L$. Кажуть, що точка $p$ інцидентна прямий $l$, якщо $(p,l)\in I$. Структура називається скінченною частковою геометрією, якщо існують цілі числа $s,t,\alpha \geq 1$, такі, що:

• Для будь-якої пари різних точок $p$ і $q$ існує максимум одна пряма, яка відповідає обом точкам.
• Кожна пряма інцидентна $s+1$ точці.
• Кожна точка інцидентна $t+1$ прямій.
• Якщо точка $p$ і пряма $l$ не інцидентні, існує рівно $\alpha$ пар $(q,m)\in I$, таких, що $p$ інцидентна $m$, а $q$ інцидентна $l$.

Часткова геометрія з цими параметрами позначається $pg(s,t,\alpha )$.

Властивості

• Число точок задається формулою ${\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$, а число прямих — формулою ${\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$.
• Точковий граф структури $pg(s,t,\alpha )$ є сильно регулярним графом: $srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha }},s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+1))$.
• Часткові геометрії двоїсті — двоїстою структурою для $pg(s,t,\alpha )$ є структура $pg(t,s,\alpha )$.

Окремі випадки

• Узагальнені чотирикутники — це точно часткові геометрії $pg(s,t,\alpha )$ з $\alpha =1$.
• Системи Штейнера — це точно часткові геометрії $pg(s,t,\alpha )$ з $\alpha =s+1$.

Узагальнення

Частково лінійний простір $S=(P,L,I)$ порядку $s,t$ називають напівчастковою геометрією, якщо існують цілі числа $\alpha \geq 1,\mu$, такі, що:

• Якщо точка $p$ і пряма $\ell$ не інцидентні, існує або $0$, або рівно $\alpha$ пар $(q,m)\in I$, таких, що $p$ інцидентна $m$ і $q$ інцидентна $\ell$.
• Будь-яка пара неколінеарних точок має рівно $\mu$ спільних сусідів.

Напівчасткова геометрія є частковою геометрією тоді і тільки тоді, коли $\mu =\alpha (t+1)$.

Легко показати, що граф колінеарності такої геометрії строго регулярний з параметрами $(1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\mu )$.

Хороший приклад такої геометрії виходить, якщо взяти афінні точки $PG(3,q^{2})$ і тільки ті прямі, які перетинають площину на нескінченності в точці фіксованої підплощини Бера. Геометрія має параметри $(s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))$.

Література

• Brouwer A.E., van Lint J.H. Strongly regular graphs and partial geometries // Enumeration and Design / Jackson D.M., Vanstone S.A. — Toronto : Academic Press, 1984. — С. 85–122.
• Bose R. C. Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs // Pacific J. Math. — 1963. — Т. 13 (30 червня). — С. 389–419. Архівовано з джерела 22 червня 2019. Процитовано 29 липня 2021.
• De Clerck F., Van Maldeghem H. Some classes of rank 2 geometries // Handbook of Incidence Geometry. — Amsterdam : North-Holland, 1995. — С. 433–475.
• Thas J.A. Partial Geometries // Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H. — 2nd. — Boca Raton : Chapman & Hall/ CRC, 2007. — С. 557–561. — ISBN 1-58488-506-8.
• Debroey I., Thas J. A. On semipartial geometries // Journal of Combinatorial Theory Ser. A. — 1978. — Т. 25 (30 червня). — С. 242–250.