Числа Пізо

Число Пізо (або число Пізо — Віджаяраґгавана, або PV-число) — будь-яке ціле алгебричне число, більше від одиниці, модулі всіх спряжених якого строго менші від одиниці. Ці числа відкрив 1912 року Аксель Туе, від 1919 року вивчав Ґодфрі Гарді у зв'язку з діофантовими наближеннями, але популярність вони здобули після опублікування 1938 року дисертації Шарля Пізо. У 1940-х роках дослідження продовжили Тірукканнапурам Віджаяраґгаван і Рафаель Салем.

З числами Пізо тісно пов'язані числа Салема: це таке число, модулі всіх спряжених якого не перевищують 1 і серед них є одиничний.

Властивості

Що більший натуральний показник степеня PV-числа, то більше цей степінь наближається до цілого числа. Пізо довів, що серед нецілих додатних алгебричних чисел, модулі яких більші від 1, ця властивість є винятковою для PV-чисел: якщо дійсне число $\alpha >1$ таке, що послідовність відстаней $\|\alpha ^{n}\|$ від його степенів до множини цілих чисел квадратно сумовні (належать L²)^{[уточнити]}, то $\alpha$ — число Пізо (і, зокрема, $\alpha$ — алгебричне).

Найменшим числом Пізо є єдиний дійсний корінь кубічного рівняння $x^{3}-x-1=0$, відомий як пластичне число.

Квадратичні ірраціональності, що є числами Пізо:

Значення	Многочлен	Числове значення
${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-x-1$	1,618034 … (золотий перетин)
$1+{\sqrt {2}}$	$x^{2}-2x-1$	2,414214… (срібний перетин)
${\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-3x+1$	2,618034…  A104457
$1+{\sqrt {3}}$	$x^{2}-2x-2$	2,732051…  A090388
${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	$x^{2}-3x-1$	3,302776…  A098316 (бронзовий перетин)
$2+{\sqrt {2}}$	$x^{2}-4x+2$	3,414214…
${\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}$	$x^{2}-3x-2$	3,561553.  A178255
$2+{\sqrt {3}}$	$x^{2}-4x+1$	3,732051…  A019973
${\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}$	$x^{2}-3x-3$	3,791288…  A090458
$2+{\sqrt {5}}$	$x^{2}-4x-1$	4,236068…  A098317