Чотирикутник Саккері

Чотирикутники Саккері на евклідовій, еліптичній та гіперболічній площинах.

Чотирикутник Саккері — чотирикутник із двома рівними бічними сторонами, перпендикулярними до основи. Названий на честь Джироламо Саккері, який використав його у своїй книзі «Евклід, очищений від усіх плям» (Euclides ab omni naevo vindicatus, вперше опубліковано 1733 року). Саккері в цій праці спробував довести п'ятий постулат методом «від супротивного».

Раніше, наприкінці XI століття, чотирикутник Саккері розглянув Омар Хаям.

У чотирикутнику Саккері $ABCD$ сторони $AD$ і $BC$ рівні за довжиною і перпендикулярні до основи $AB$. Кути при $C$ і $D$ називають верхніми кутами, два інших кути — нижніми.

Корисна властивість чотирикутника Саккері полягає в тому, що тип площини, яка містить його, однозначно визначається відповіддю на лише одне питання:

Чи є верхні кути прямими, тупими чи гострими?

Виявляється, коли верхні кути прямі, на площині виконується п'ятий постулат, коли вони гострі — площина гіперболічна, а коли тупі — еліптична (за умови внесення деяких додаткових змін до постулатів).

Саккері сподівався, що випадки тупих та гострих кутів призводять до суперечності з аксіомами Евкліда. Він показав це в разі тупих кутів, і, як йому здавалося, у разі гострих теж (що було вочевидь неправильно).

Історія

Чотирикутник Саккері вперше розглянув Омар Хаям наприкінці XI століття. На відміну від багатьох до і після нього, Хаям не намагався довести п'ятий постулат як такий, він спирався на еквівалентний постулат із «принципів філософа» (Арістотель):

Дві прямі лінії, що сходяться, перетинаються, і неможливо, щоб дві прямі лінії, що сходяться, стали розходитися в напрямку, в якому вони раніше сходилися.

Хаям розглянув усі три можливості для верхніх кутів чотирикутника Сакері і довів низку теорем. Він (правильно) спростував випадки тупих та гострих кутів на підставі його постулату та вивів звідси класичний постулат Евкліда.

600 років потому Джордано Вітале використав чотирикутник Саккері в доведенні того, що якщо три точки розташовані на рівній відстані від основи $AB$ та верхньої сторони $CD$, то $AB$ і $CD$ всюди лежать однаковій відстані.

Сам Саккері у своєму довгому доведенні постулату припустив, що верхні кути гострі, після чого, сам того не підозрюючи, вивів звідси багато теорем гіперболічної геометрії . Наприкінці книги він припустився помилки і прийшов до уявної суперечності, звідки зробив висновок, що зумів довести п'ятий постулат.

Властивості

Нехай $ABCD$ — чотирикутник Саккері з основою $AB$. У будь-якій гіперболічній геометрії виконуються такі властивості:

• Верхні кути ($C$ і $D$) рівні та є гострими.
• Верхня сторона довша за основу.
• Відрізок, що з'єднує середину основи і середину верхньої сторони, перпендикулярний до основи та верхньої сторони.
  • Також цей відрізок ділить чотирикутник на два чотирикутники Ламберта .
• Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін, не перпендикулярний до жодної із сторін.

Формула

У гіперболічній площині сталої кривини $-1$ верхню сторону $s$ чотирикутника Саккері можна виразити через бічну сторону $l$ та основу $b$ за допомогою формули

$\cosh s=\cosh b\cdot \cosh ^{2}l-\sinh ^{2}l.$

Приклади

Гіперболічна площина допускає замощення деякими чотирикутниками Саккері:

Симетрія *3322

Симетрія *∞∞22

Див. також

• Чотирикутник Ламберта — варіація чотирикутника Саккері з трьома прямими кутами.

Література

• Coxeter, H.S.M. (1998), Non-Euclidean Geometry (вид. 6th), Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4 
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1 
• M. J. Greenberg. Евклідова і неевклідова геометрії: розвиток та історія = Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. — 4th edition. — W. H. Freeman, 2008.
• George E. Martin. Основи геометрії та неевклідова площина = The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane. — Springer-Verlag, 1975.