Чотирисила

Чотирисила, 4-сила — 4-вектор сили, релятивістське узагальнення тривимірного вектора сили класичної механіки на чотиривимірний простір-час.

Визначення

4-сила $\Phi$ є швидкість зміни 4-імпульсу $P$ , оцінена протягом власного часу рухомого тіла^[1].

\Phi ^{\mu }={\begin{pmatrix}{\frac {dP_{0}}{d\tau }}\\{\frac {dP_{x}}{d\tau }}\\{\frac {dP_{y}}{d\tau }}\\{\frac {dP_{z}}{d\tau }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {mc}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {mv_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {mv_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {mv_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{pmatrix}}.

Перетворення Лоренца

Подамо 4-силу у вигляді:

\Phi ^{\mu }={\begin{pmatrix}{\frac {Fv}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\\{\frac {F_{x}}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\\{\frac {F_{y}}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\\{\frac {F_{z}}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\end{pmatrix}}.

тут $F={\frac {d}{dt}}{\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ — релятивістська 3-сила, $Fv$ — її потужність. У системі відліку, що рухається зі швидкістю V відносно початкової системи відліку в напрямку осі x величини перетворюються так^[2]: