В математиці ядро Феєра використовується для знаходження суми за Чезаро рядів Фур'є або перетворень Фур'є .
Графіки деяких ядер Феєра. На графіках використано іншу індексацію, ніж у статті і тому
F
i
=
Φ
i
−
1
{\displaystyle F_{i}=\Phi _{i-1}}
Ядро Феєра задається як:
Φ
n
(
x
)
=
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
D
k
(
x
)
,
{\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x),}
де
D
n
(
x
)
=
∑
k
=
−
n
n
e
i
k
x
=
(
1
+
2
∑
k
=
1
n
cos
(
k
x
)
)
=
sin
(
(
n
+
1
/
2
)
x
)
sin
(
x
/
2
)
{\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\right)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}}}
ядро Діріхле .Ядра Феєра також можна записати через тригонометричні функції як:
Φ
n
(
x
)
=
1
n
+
1
sin
2
n
+
1
2
x
sin
2
x
2
=
1
n
+
1
(
1
−
cos
(
n
+
1
)
x
1
−
cos
x
)
.
{\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n+1}{2}}x}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1}{n+1}}\left({\frac {1-\cos(n+1)x}{1-\cos x}}\right).}
Для точок
x
=
2
π
m
,
m
∈
Z
{\displaystyle x=2\pi m,\ m\in \mathbb {Z} }
Φ
n
{\displaystyle \Phi _{n}}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
Назване на честь угорського математика Ліпота Феєра.
Ядро Діріхле рівне
D
n
(
x
)
=
sin
(
(
n
+
1
/
2
)
x
)
sin
(
x
/
2
)
=
1
sin
(
x
/
2
)
I
m
(
e
i
(
n
+
1
/
2
)
x
)
.
{\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}}={\frac {1}{\sin(x/2)}}{\mathcal {Im}}\left(e^{i\left(n+1/2\right)x}\right).}
Тому
(
n
+
1
)
D
n
(
x
)
=
1
sin
(
x
/
2
)
I
m
(
∑
k
=
0
n
e
i
(
n
+
1
/
2
)
x
)
.
{\displaystyle (n+1)D_{n}(x)={\frac {1}{\sin(x/2)}}{\mathcal {Im}}\left(\sum _{k=0}^{n}e^{i\left(n+1/2\right)x}\right).}
Із використанням суми геометричної прогресії звідси:
(
n
+
1
)
D
n
(
x
)
=
1
sin
(
x
/
2
)
I
m
(
e
i
x
/
2
e
i
(
n
+
1
)
x
−
1
e
i
x
−
1
)
=
1
sin
(
x
/
2
)
I
m
(
e
i
(
n
+
1
)
x
−
1
e
i
x
/
2
−
e
−
i
x
/
2
)
.
{\displaystyle (n+1)D_{n}(x)={\frac {1}{\sin(x/2)}}{\mathcal {Im}}\left(e^{ix/2}{\frac {e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix}-1}}\right)={\frac {1}{\sin(x/2)}}{\mathcal {Im}}\left({\frac {e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}}\right).}
Далі для уявної частини у попередніх формулах:
I
m
(
e
i
(
n
+
1
)
x
−
1
e
i
x
/
2
−
e
−
i
x
/
2
)
=
1
2
i
(
e
i
(
n
+
1
)
x
−
1
e
i
x
/
2
−
e
−
i
x
/
2
−
e
−
i
(
n
+
1
)
x
−
1
e
−
i
x
/
2
−
e
i
x
/
2
=
1
2
i
e
i
(
n
+
1
)
x
+
e
−
i
(
n
+
1
)
x
−
2
e
i
x
/
2
−
e
−
i
x
/
2
)
.
{\displaystyle {\mathcal {Im}}\left({\frac {e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}}\right)={\frac {1}{2i}}\left({\frac {e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}}-{\frac {e^{-i(n+1)x}-1}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {1}{2i}}{\frac {e^{i(n+1)x}+e^{-i(n+1)x}-2}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}}\right).}
Із властивостей полярного запису комплексних чисел:
e
i
(
n
+
1
)
x
+
e
−
i
(
n
+
1
)
x
−
2
=
2
cos
(
n
+
1
)
x
−
2
,
{\displaystyle e^{i(n+1)x}+e^{-i(n+1)x}-2=2\cos(n+1)x-2,}
e
i
x
/
2
−
e
−
i
x
/
2
=
2
i
sin
(
x
/
2
)
,
{\displaystyle e^{ix/2}-e^{-ix/2}=2i\sin(x/2),}
Підставляючи ці рівності у попередні формули:
(
n
+
1
)
D
n
(
x
)
=
1
2
i
1
sin
(
x
/
2
)
2
cos
(
n
+
1
)
x
−
2
2
i
sin
(
x
/
2
)
=
1
−
cos
(
n
+
1
)
x
2
(
sin
(
x
/
2
)
)
2
=
1
−
cos
(
n
+
1
)
x
1
−
cos
x
=
sin
2
n
+
1
2
x
sin
2
x
2
.
{\displaystyle (n+1)D_{n}(x)={\frac {1}{2i}}{\frac {1}{\sin(x/2)}}{\frac {2\cos(n+1)x-2}{2i\sin(x/2)}}={\frac {1-\cos(n+1)x}{2(\sin(x/2))^{2}}}={\frac {1-\cos(n+1)x}{1-\cos x}}={\frac {\sin ^{2}{\frac {n+1}{2}}x}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}.}
Φ
n
(
x
)
{\displaystyle \Phi _{n}(x)}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
парна функція і
0
⩽
Φ
n
(
x
)
⩽
n
+
1
{\displaystyle 0\leqslant \Phi _{n}(x)\leqslant n+1}
x
.
{\displaystyle x.}
Парність,
2
π
{\displaystyle 2\pi }
D
k
(
x
)
=
1
+
2
∑
j
=
1
k
cos
(
j
x
)
{\displaystyle D_{k}(x)=1+2\sum _{j=1}^{k}\cos(jx)}
D
k
(
x
)
⩽
2
k
+
1
{\displaystyle D_{k}(x)\leqslant 2k+1}
Φ
n
(
x
)
=
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
D
k
(
x
)
⩽
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
2
k
+
1
=
(
n
+
1
)
2
n
+
1
=
n
+
1.
{\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)\leqslant {\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}2k+1={\frac {(n+1)^{2}}{n+1}}=n+1.}
Рівність досягається лише у точках для яких всі
cos
(
j
x
)
=
1
{\displaystyle \cos(jx)=1}
x
=
2
π
m
.
{\displaystyle x=2\pi m.}
∀
n
∈
N
:
∫
−
π
π
Φ
n
(
u
)
d
u
=
2
π
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :~\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(u)du=2{\pi }}
Ядро Феєра є рівним
Φ
n
(
x
)
=
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
∑
m
=
−
k
k
e
i
m
x
.
{\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=-k}^{k}e^{imx}.}
1
n
+
1
∫
−
π
π
(
∑
k
=
0
n
∑
m
=
−
k
k
e
i
m
x
)
d
x
=
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
∑
m
=
−
k
k
(
∫
−
π
π
e
i
m
x
d
x
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\int _{-\pi }^{\pi }\left(\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=-k}^{k}e^{imx}\right)dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=-k}^{k}\left(\int _{-\pi }^{\pi }e^{imx}dx\right).}
Якщо
m
≠
0
,
{\displaystyle m\neq 0,}
∫
−
π
π
e
i
m
x
d
x
=
∫
−
π
0
e
i
m
x
d
x
+
∫
0
π
e
i
m
x
d
x
=
∫
0
π
−
e
i
m
x
d
x
+
∫
0
π
e
i
m
x
d
x
=
0.
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{imx}dx=\int _{-\pi }^{0}e^{imx}dx+\int _{0}^{\pi }e^{imx}dx=\int _{0}^{\pi }-e^{imx}dx+\int _{0}^{\pi }e^{imx}dx=0.}
Якщо
m
=
0
,
{\displaystyle m=0,}
∫
−
π
π
e
i
0
x
d
x
=
∫
−
π
π
1
d
x
=
2
π
.
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{i0x}dx=\int _{-\pi }^{\pi }1dx=2\pi .}
Тому
∫
−
π
π
Φ
n
(
x
)
d
x
=
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
2
π
=
2
π
.
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(x)dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}2\pi =2\pi .}
Для будь-якого фіксованого
0
<
δ
⩽
π
{\displaystyle 0<\delta \leqslant \pi }
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
∫
δ
π
Φ
n
(
x
)
d
x
→
0
,
∫
−
π
−
δ
Φ
n
(
x
)
d
x
→
0.
{\displaystyle \int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(x)dx\rightarrow 0,\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _{n}(x)dx\rightarrow 0.}
Із тригонометричного запису ядра Феєра через квадрати синусів для
δ
⩽
x
⩽
π
{\displaystyle \delta \leqslant x\leqslant \pi }
Φ
n
(
x
)
d
x
⩽
1
n
+
1
1
(
sin
x
/
2
)
2
⩽
1
n
+
1
1
(
sin
δ
/
2
)
2
.
{\displaystyle \Phi _{n}(x)dx\leqslant {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{(\sin x/2)^{2}}}\leqslant {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{(\sin \delta /2)^{2}}}.}
Звідси
∫
δ
π
Φ
n
(
x
)
d
x
⩽
1
n
+
1
∫
δ
π
1
(
sin
δ
/
2
)
2
d
x
=
1
n
+
1
π
−
δ
(
sin
δ
/
2
)
2
.
{\displaystyle \int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(x)dx\leqslant {\frac {1}{n+1}}\int \limits _{\delta }^{\pi }{\frac {1}{(\sin \delta /2)^{2}}}dx={\frac {1}{n+1}}{\frac {\pi -\delta }{(\sin \delta /2)^{2}}}.}
Очевидно цей вираз прямує до 0 при
n
→
∞
.
{\displaystyle n\rightarrow \infty .}
Нехай
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
S
k
(
x
)
{\displaystyle S_{k}(x)}
σ
n
(
x
)
{\displaystyle \sigma _{n}(x)}
середнє арифметичне цих часткових сум , тобто
σ
n
(
x
)
=
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
S
k
(
x
)
{\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=0}^{n}{S_{k}(x)}}
∀
x
∈
R
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,~\forall n\in \mathbb {N} }
σ
n
(
f
;
x
)
=
∫
−
π
π
f
(
x
−
u
)
Φ
n
(
u
)
d
u
=
∫
0
π
(
f
(
x
−
u
)
+
f
(
x
+
u
)
)
Φ
n
(
u
)
d
u
.
{\displaystyle \sigma _{n}(f;x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x-u)\Phi _{n}(u)du=\int \limits _{0}^{\pi }(f(x-u)+f(x+u))\Phi _{n}(u)du.}
Згідно теореми Феєра , якщо додатково
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
σ
n
(
x
)
{\displaystyle \sigma _{n}(x)}
рівномірно збігається до
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Ядро Феєра для інтеграла Фур'є визначається як:
F
n
(
x
)
=
2
π
n
sin
2
n
2
x
x
2
{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {2}{\pi n}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n}{2}}x}{x^{2}}}}
F
n
(
x
)
⩾
0
{\displaystyle F_{n}(x)\geqslant 0}
∫
−
∞
∞
F
n
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{n}(x)dx=1}
Для будь-якого фіксованого
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
∫
|
x
|
⩾
δ
F
n
(
x
)
d
x
→
0
{\displaystyle \int _{|x|\geqslant \delta }F_{n}(x)dx\rightarrow 0}
William Wu . Fourier Series and Fejer’s Theorem
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
