Theorema Egregium

Деформація гелікоїда в катеноїд. Деформація здійснюється згинанням без розтягування. В ході процесу, гаусова кривина поверхні в кожній точці залишається сталою.

Theorema Egregium (у перекладі з латини «чудова теорема») — історично важливий результат у диференціальній геометрії, доведений Гаусом. У сучасному формулюванні теорема стверджує:

Гаусова кривина є внутрішнім інваріантом поверхні.

Іншими словами, гаусову кривину можна визначити виключно вимірюванням кутів, відстаней всередині самої поверхні і вона не залежить від конкретної реалізації поверхні в 3-вимірному евклідовому просторі.

Історія

Гаус сформулював теорему так (переклад з латини):

Таким чином, формула попередньої статті має наслідком чудову теорему. Якщо криволінійна поверхня розгортається по якійсь іншій поверхні, то міра кривини в кожній точці лишається незмінною.

Теорема «чудова», оскільки означення гаусової кривини використовує положення поверхні в просторі. Тому досить дивно, що результат ніяк не залежить від ізометричної деформації.

Посилання

• Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas 1827 Oct. 8, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=139389
• Weisstein, Eric W. Теорема Egregium(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.