Beta Negative Binomial |
---|
Параметри |
форма (дійсний) дійсний (real) — число успіхів до зупинки експерименту (ціле, але можна розширити на дійсні числа) |
---|
Носій функції |
|
---|
Розподіл імовірностей |
|
---|
Середнє |
|
---|
Дисперсія |
|
---|
Коефіцієнт асиметрії |
|
---|
Твірна функція моментів (mgf) |
не існує |
---|
Характеристична функція |
де — гамма-функція і — гіпергеометрична функція. |
У теорії ймовірностей бета-негативний біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей дискретної випадкової величини , що дорівнює кількості відмов, необхідних для отримання успіхів в серії незалежних випробувань Бернуллі. Ймовірність успіху в кожному випробуванні залишається незмінним у межах будь-якого експерименту, але змінюється в різних експериментах згідно бета-розподілу. Отже, розподіл є складеним розподілом ймовірностей.
Цей розподіл також називають зворотним розподілом Маркова-Пойя та узагальненим розподілом Варінга[1]. Зміщену форму розподілу називають бета-розподілом Паскаля[1].
Якщо параметри бета-розподілу є і , і якщо
де
тоді граничний розподіл має бета-негативний біноміальний розподіл:
У наведеному вище, є від’ємним біноміальним розподілом і є бета-розподіл.
Якщо — ціле число, тоді функцію ймовірностей можна записати через бета-функцію:
- .
Узагальнюючи можна записати
або
- .
Функція ймовірностей, виражена через гамма функцію[ред. | ред. код]
Використовуючи властивості бета-функції, функція ймовірності для цілого можна переписати наступним чином:
- .
У більш загальному вигляді можна записати
- .
Вираження через символи Похамера[ред. | ред. код]
Функція ймовірностей часто також можна подати в термінах символів Похамера для цілого числа
Бета-негативний біноміальний розподіл є неідентифіковним, що можна легко помітити, просто міняючи місцями і у наведеній вище функції ймовірності чи характеристичній функції та відзначити, що вони незмінюються. Отже, оцінка вимагає встановлення обмежень на котрийсь з параметрів , або й на обидва.
Зв'язок з іншими розподілами[ред. | ред. код]
Бета-негативний біноміальний розподіл містить бета-геометричний розподіл як окремий випадок, коли . Тому він може як завгодно добре апроксимувати геометричний розподіл. Він також дуже добре апроксимує негативний біноміальний розподіл для великих і . Тому він може як завгодно добре апроксимувати розподіл Пуассона для великих , і .
За допомогою наближення Стірлінга бета-функції можна легко показати, що для великих
це означає, що бета-негативний біноміальний розподіл має важкі хвости і що моменти менші або рівні не існують.
Бета-геометричний розподіл[ред. | ред. код]
Бета-геометричний розподіл є важливим окремим випадком бета-негативного біноміального розподілу, що виникає при . У цьому випадку функція ймовірності спрощується до
- .
Цей розподіл використовується в моделях Buy Till You Die (BTYD).
Далі, коли бета-геометричний розподіл зводиться до розподілу Юля-Саймона. Однак більш поширеним є означення розподілу Юля-Саймона в термінах зміщеної версії бета-геометричного розподілу. Зокрема, якщо потім .
- ↑ а б Johnson et al. (1993)
- Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley ISBN 0-471-54897-9 (Section 6.2.3)
- Kemp, C.D.; Kemp, A.W. (1956) "Generalized hypergeometric distributions, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 18, 202–211
- Wang, Zhaoliang (2011) "One mixed negative binomial distribution with application", Journal of Statistical Planning and Inference, 141 (3), 1153-1160 DOI:10.1016/j.jspi.2010.09.020
|
---|
| | | Дискретні одновимірні зі скінченним носієм |
|
---|
| Дискретні одновимірні з нескінченним носієм |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм змінного типу |
|
---|
| Змішані неперервно-дискретні одновимірні |
|
---|
| Багатовимірні (спільні) |
|
---|
| Напрямкові |
|
---|
| Вироджені та сингулярні[en] |
|
---|
| Сімейства |
|
---|
|