Перша квадратична форма
Перша квадратична форма або метричний тензор поверхні — квадратична форма від диференціалів координат на поверхні, яка визначає внутрішню геометрію поверхні в околі даної точки. Наявності першої квадратичної форми достатньо для обчислення довжин дуг, кутів між кривими, площі областей на поверхні.
Визначення[ред. | ред. код]
Нехай поверхня задана рівнянням
де і ― внутрішні координати на поверхні;
― Диференціал радіус-вектора уздовж обраного напрямку зміщення з точки в нескінченно близьку точку . Квадрат головної ліпшицевої частини приросту довжини виражається квадратом диференціала :
і називається першою основною квадратичною формою поверхні. Коефіцієнти першої квадратичної форми зазвичай позначають через
або в тензорних символах
Тензор називається основним, або метричним, тензором поверхні.
Що можна обчислити за допомогою першої квадратичної форми?[ред. | ред. код]
- Довжина кривої на поверхні.
- Кут між кривими на поверхні.
- Площа поверхні.
Властивості[ред. | ред. код]
- Перша квадратична форма є додатно визначеною формою в звичайних точках поверхні:
Обчислення довжини та площі[ред. | ред. код]
Перша квадратична форма повністю описує метричні властивості поверхні. Таким чином вона дозволяє обчислити довжини кривих на поверхні та площі областей на поверхні. Лінійний елемент ds може бути виражений в термінах коефіцієнтів першої квадратичної форми у вигляді
- .
Класична площа елемента задається може бути виражена в термінах першої квадратичної форми за допомогою тотожності Лагранжа,
Приклад[ред. | ред. код]
Сфера одиничного радіуса в може бути параметризована як
диференціюючи по змінних та отримуємо
Коефіцієнти першої квадратичної форми можна знайти за допомогою скалярного добутку часткових похідних
Довжина кривої на сфері[ред. | ред. код]
Екватор сфери є параметризована крива, задана з в діапазоні від до . Лінійний елемент може бути використаний, щоб обчислити довжину цієї кривої.
Площа області на сфері[ред. | ред. код]
Площа елемента може бути використана для обчислення площі області.
Література[ред. | ред. код]
- Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія : Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995 . - 304 с.
- Пришляк О., Диференціальна геометрія : Курс лекцій. – К.: Київський університет, 2004. – 68 с. [Архівовано 14 квітня 2010 у Wayback Machine.]
Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |